兰道-拉马努金常数

兰道-拉马努金常数（Landau–Ramanujan constant）是一个和数论有关的常数，对于一正整数x ，若x很大时，小于x且可以表示为二平方数和整数的个数和下式成正比

$x/{\sqrt {\ln(x)}}.$

二者之间的比例即为兰道-拉马努金常数，分别由爱德蒙·兰道及拉马努金所发现。

若用N(x)表示小于于x，可表示为二平方数和整数的个数，则兰道-拉马努金常数K可表示为

$K=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\approx 0.76422365358922066299069873125.$（OEIS数列A064533）

也可表示为以下的欧拉积 :

$K={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \prod _{p\equiv 3\mod 4}\quad \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-1/2}={\frac {\pi }{4}}\quad \prod _{p\equiv 1\mod 4}\quad \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{1/2}.$

两平方数的和

依照平方和定理，可以表示为二个平方数和的整数，其质因数分解中的质因数，若幂次为偶数，则该质因数除以4的余数必为3。例如45 = 9 + 36可以表示为二个平方数的和，其质因数分解为3² × 5，其中只有3的幂次为偶数，而其3除以4的余数为3，因此符合平方和定理。

参照

• 素数计数函数

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Landau–Ramanujan Constant. MathWorld.