閉形式和恰當形式

在數學，特別是向量分析與微分拓撲中，一個閉形式 $\alpha$ 是微分算子 $d$ 的核（又被稱為零空間），即 $d\alpha =0$的微分形式；而恰當形式(恰當微分形式) $\alpha$ 是微分算子 $d$ 的像，即存在某個微分形式 $\beta$ 使得 $\alpha =d\beta$，$\beta$ 稱為關於 $\alpha$ 的一個「本原」。

因為 $d^{2}=0$，所以恰當形式一定是閉形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考慮一個閉形式是不是恰當的，可由不同的條件檢測拓撲信息來得知。問一個 0-形式是否恰當沒有意義，因為 $d$ 將階數提高 1，不過可以規定恰當 0-形式就是零函數。

當兩個閉形式的差是一個恰當形式時，稱它們為相互上同調的。這便是說，如果 $\zeta$ 與 $\eta$ 是閉形式，且存在某個 $\beta$ 使得

$\zeta -\eta =d\beta \ ,$

那麼 $\zeta$ 與 $\eta$ 是互相上同調的。恰當形式經常稱為上同調於零。相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素；對這樣的類作一般性研究稱為上同調理論。

$\mathbb {R} ^{2}$ 與 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的微分形式已經為十九世紀的數學物理所熟知。在平面上，0-形式就是函數，2-形式是函數乘以基本面積元 $dx\wedge dy$，故只有 1-形式

$\alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,$

具有真正的意義，其外導數 $d$ 是

$d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,$

這裡下標表示偏導數。從而 $\alpha$「閉」的條件是

$f_{y}=g_{x}\ .$

當 $h(x,y)$ 是一個函數時則

$dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .$

「恰當形式是閉形式」便是關於 x 與 y 二階導數的對稱性的一個推論，這可以直接推廣到高維情形。

在$\mathbb {R} ^{2}$上，恰當 1-形式相當於有勢場（保守場），閉 1-形式相當於無旋場。故「恰當形式是閉形式」用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場。

龐加萊引理

龐加萊引理指出，在 一個n-維度域 Rⁿ 中的開球上的每個封閉的p-微分形式對於 p 都是恰當的，這裡 1 ≤ p ≤ n 。 更一般地，引理指出，在流形的可收縮開子集（例如 $\mathbb {R} ^{n}$）上，閉 p-形式 p > 0 時是恰當的。^{[需要解釋]}

參考文獻

• Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 
• 陳維桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7