三角形内角的嵌入不等式

三角形内角的嵌入不等式是平面几何中的一个不等式。在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数 x、y、z，有：

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B.$

首先发现此不等式的是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆。他在1867年出版的《数学问题集》一书中对嵌入不等式做出介绍。

证明

注意到不等式：$(x-y\cos C-z\cos B)^{2}+(y\sin C-z\sin B)^{2}\geqslant 0$ 对所有的实数 x、y、z以及任意角A、B、C成立，将其左侧展开，就得到：

$x^{2}+y^{2}(\cos ^{2}C+\sin ^{2}C)+z^{2}(\cos ^{2}B+\sin ^{2}B)-2xy\cos C-2xz\cos B-2yz\sin B\sin C+2yz\cos B\cos C\geqslant 0$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B+2yz(\sin B\sin C-\cos B\cos C)$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B-2yz\cos(B+C)$

由于A、B、C是三角形内角，$\cos(B+C)=\cos(\pi -A)=-\cos A$，因此上式等价于

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B+2yz\cos A.$

从证明中可推出，不等式中等号成立当且仅当$y\sin C=z\sin B$和$x=y\cos C+z\cos B$同时成立。也就是说，要么$x=y=z=0$，要么$x:y:z=\sin A:\sin B:\sin C$。

推广与加强

从以上证明中可以看到，证明成立的关键是$\cos(B+C)+\cos A=0$，所以可以将条件中的“A、B、C是三角形内角”推广到“$A+B+C=(2k+1)\pi ,\,k\in \mathbb {N}$”。而如果 $A+B+C=2k\pi$，则$\cos(B+C)=\cos A$，展开恒成立的不等式 $(x+y\cos C+z\cos B)^{2}+(y\sin C-z\sin B)^{2}\geqslant 0$便可得到不等式

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B\geqslant 0.$

这个不等式和三角形内角的嵌入不等式可以合写成一个不等式：

如果$A+B+C=k\pi ,\,k\in \mathbb {N}$，那么对任意实数x、y、z，都有$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(-1)^{k}(xy\cos C+yz\cos A+zx\cos B)\geqslant 0.$

由于三角形内角的嵌入不等式具有高度对称性，在应用中也会写成对称下标不等式：

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\geqslant 2x_{1}x_{2}\cos \varphi _{3}+2x_{2}x_{3}\cos \varphi _{1}+2x_{3}x_{1}\cos \varphi _{2}.$

或轮换下标不等式：

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\geqslant 2x_{1}x_{2}\cos \varphi _{1}+2x_{2}x_{3}\cos \varphi _{2}+2x_{3}x_{1}\cos \varphi _{3}.$

设 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$是三角形内角，对后一个不等式做变量代换

$x_{1}\rightarrow x_{1}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{3}\sin \alpha _{1}}}},\,x_{2}\rightarrow x_{2}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{3}}{\sin \alpha _{1}\sin \alpha _{2}}}},\,x_{3}\rightarrow x_{3}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}\sin \alpha _{3}}}},$

可以得到不等式：

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}){\frac {\cos \alpha _{1}}{\sin \alpha _{1}}}+(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}){\frac {\cos \alpha _{2}}{\sin \alpha _{2}}}+(x_{3}^{2}+x_{1}^{2}){\frac {\cos \alpha _{3}}{\sin \alpha _{3}}}\geqslant 2x_{1}x_{2}{\frac {\cos \varphi _{1}}{\sin \alpha _{1}}}+2x_{2}x_{3}{\frac {\cos \varphi _{2}}{\sin \alpha _{2}}}+2x_{3}x_{1}{\frac {\cos \varphi _{3}}{\sin \alpha _{3}}}.$

由这个不等式可以推出嵌入不等式的另一种推广：

设$\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}$满足 $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=\pi$， $\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n}$满足 $\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{n}=\pi$，则有：

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {\cos \alpha _{i}}{\sin \alpha _{i}}}(x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2})\geqslant 2\sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}{\frac {\cos \varphi _{i}}{\sin \alpha _{i}}}.$

其中$x_{n+1}=x_{1}$。而当$\alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{n}={\frac {\pi }{n}}$的时候，上面的不等式转化为：

$\cos {\frac {\pi }{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2})\geqslant 2\sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}\cos \varphi _{i}.$

嵌入不等式是此不等式在$n=3$时的特例。

应用

三角形内角的嵌入不等式将代数不等式和几何不等式结合起来。运用嵌入不等式可以解决许多几何不等式，例如以下是运用嵌入不等式证明埃尔德什－莫德尔不等式。

$r_{3}$（红）小于$w_{3}$（蓝）.

埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式，其声称：对于任何三角形和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。下设这个三角形顶点为$A_{1},A_{2},A_{3}$，点O到这三个顶点的距离分别是$R_{1},R_{2},R_{3}$，到它们对边的距离分别是$r_{1},r_{2},r_{3}$，则埃尔德什-莫德尔不等式写作：

$R_{1}+R_{2}+R_{3}\geqslant 2\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right)$

在嵌入不等式中令$x={\sqrt {R_{1}}},y={\sqrt {R_{2}}},z={\sqrt {R_{3}}}$，$A={\frac {\angle A_{2}OA_{3}}{2}},B={\frac {\angle A_{1}OA_{3}}{2}},C={\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}$则可得到：

$R_{1}+R_{2}+R_{3}\geqslant 2\left[{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{2}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{2}OA_{3}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{1}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{3}}{2}}\right)\right]$

另一方面，计算三角形$A_{1}OA_{2}$在O点发出的角平分线长度$w_{3}$，可得

$w_{3}={\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right).$

同时作为角平分线，其长度必然大于O点到$A_{1}A_{2}$的距离$r_{3}$，所以

$r_{3}\leqslant w_{3}\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)$

$r_{1}+r_{2}+r_{3}\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{2}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{2}OA_{3}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{1}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{3}}{2}}\right)$

因此

$R_{1}+R_{2}+R_{3}\geqslant 2\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right).$

等价形式

设 $A+B+C=k\pi$, $k\in \mathbb {Z}$, $x,y,z\in \mathbb {R}$，则有

$(x+y+z)^{2}\geqslant 4yz\sin ^{2}A+4zx\sin ^{2}B+4xy\sin ^{2}C,$

等号成立当且仅当 $x:y:z=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C$。

证明

$LHS-RHS=(x+y\cos 2C+z\cos 2B)^{2}+(y\sin 2C-z\sin 2B)^{2}.$

推论

对于 $\triangle ABC$，令 $x=ua^{2}$, $y=vb^{2}$, $z=wc^{2}$，其中 $u,v,w\in \mathbb {R}$，即得

$(ua^{2}+vb^{2}+wc^{2})^{2}\geqslant 4\sum vwb^{2}c^{2}\sin ^{2}A=16(vw+wu+uv)S^{2},$

等号成立当且仅当 $ua^{2}:vb^{2}:wc^{2}=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C$，即 $u:v:w=\cot A:\cot B:\cot C$。

一般形式

若非零实数 $p,q,r$ 满足 $2(pq+qr+rp)\geqslant p^{2}+q^{2}+r^{2}$，则对任意实数 $x,y,z$ 恒有

$(x+y+z)^{2}\geqslant {\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{pqr}}(pyz+qzx+rxy).$

证明：

${\begin{aligned}&{\rm {LHS-RHS}}\\={}&\left(x+y+z-{\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{2pqr}}(ry+qz)\right)^{2}\\&+{\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{4p^{2}q^{2}r^{2}}}{\bigl (}(p+q-r)ry-(p-q+r)qz{\bigr )}^{2}.\end{aligned}}$

参见

• 三角不等式
• 外森比克不等式