不寻常数

用古氏积木说明10是不寻常数，10的最大素因数是5，大于√10 ≈ 3.16

不寻常数（英语：unusual number）是指一整数n的最大素因数大于${\sqrt {n}}$。

Daniel H Greene和高德纳在《Mathematics for the Analysis of Algorithms》一书中的问题中有类似的定义，但其定义是最大素因数大于等于平方根，而书中没有说明这类的数字不寻常的原因。

所有素数均为不寻常数。针对素数$p$，其小于$p^{2}$的倍数，也就是$p,\dots ,(p-1)p$，都会是不寻常数。

k-光滑数是指其最大素因数小于或等于k，因此若整数n不是${\sqrt {n}}$光滑数，此整数就是不寻常数。

例子

前几个不寻常数为：

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67.... （OEIS数列A064052）

前几个非素数的不寻常数为：

6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 65, 66, 68, 69, 74, 76, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 102.... （OEIS数列A063763）

分布

若用u(n)表示小于等于n的整数中的不寻常数个数，u(n)和n有以下的关系：

n	u(n)	u(n) / n
10	6	0.6
100	67	0.67
1000	715	0.72
10000	7319	0.73
100000	73322	0.73
1000000	731660	0.73
10000000	7280266	0.73
100000000	72467077	0.72
1000000000	721578596	0.72

数学家理查德·施罗培尔在1972年证明了若任意选择整数，选到不寻常数的渐进概率为ln(2)，也就是说：

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0.693147\dots \,.$

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Rough Number. MathWorld.