基 (拓扑学)

在拓扑学的相关领域中，拓扑基(英语：base 或 basis) 是某种特殊集合族，它们的任意并集构成了一个拓扑空间的开集。基在拓扑学的作用是简化证明，许多拓扑的性质可变换成基的性质，像是拓扑意义下的连续就可以直接对基来做定义。

动机

拓扑基的动机是想定义一群特殊的子集，它们的任意并集都是“开”的；严谨来说，令 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 为集合 $X$ 的一个子集族，希望 ${\mathcal {F}}$ 内任意一群子集之并集所组成的 ${\mathcal {U}}$ ：

${\mathcal {U}}:=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}$

为 $X$ 上的拓扑。

定理 — 
集合 $X$ 有子集族 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ ， 设 ：

$\tau :=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}$

则“ $\tau$ 为 $X$ 上的拓扑 ”，等价于以下两条件：

• $\bigcup {\mathcal {F}}=X$
• 对所有 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ ，$B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}$

证明

以下逐条检验拓扑的定义： (1) 等价于“ $X\in {\mathcal {U}}$”的条件 若 $X\in {\mathcal {U}}$ ，则： $(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=X\right)\right]$(a) 考虑到 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ ，所以根据有无限并集性质的定理(1)与(2)有 $\bigcup {\mathcal {F}}\subseteq X$ 但根据无限并集性质的定理(1)，(a)又等价于： $(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=X\right)\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}\right)\right]$ 所以有： $X\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}$ 所以从 $X\in {\mathcal {U}}$ 有： $\bigcup {\mathcal {F}}=X$ (a1) 反之若有 (a1)，因为 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {F}}$ ，所以有 $X\in {\mathcal {U}}$ 。故在本定理的前提下，(a1)等价于 $X\in {\mathcal {U}}$ 。 (2) $\varnothing \in {\mathcal {U}}$ 首先考虑到 $\varnothing \subseteq {\mathcal {F}}$，然后从无限并集性质的定理(0)有 $\varnothing =\bigcup \varnothing$，故 $\varnothing \in {\mathcal {U}}$。 (3) 对任意 ${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}$ 有 $\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {U}}$ 首先，${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}$ 可等价地展开为 $(\forall A\in {\mathfrak {A}})(\exists {\mathcal {B}})\left[({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {B}}=A\right)\right]$(b) 上式可直观地解释成“ $A\in {\mathfrak {A}}$ 都是 ${\mathcal {F}}$ 内某些集合的并集”，既然如此，取一个搜集各种不同 $A$ 的子集的集族 ${\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}$ ： ${\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}:=\left\{S\,|\,(\exists A)[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)]\right\}$ 这样根据有限交集的性质，$x\in \bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})$ 等价于 $(\exists S)\left\{(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}$ 考虑到一阶逻辑的定理(Ce)，将$(\exists A)$ 移至最前，再将$(\exists S)$移入括弧内 ，上式就依据(Equv)而等价于 $(\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (\exists S)\left[(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}$ 也就等价于 $(\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge \left(x\in \bigcup [{\mathcal {P}}(A)\cap {\mathcal {F}}]\right)\right\}$ 根据无限并集性质的定理(4)，从(b)有 $(\forall A\in {\mathfrak {A}})(\exists {\mathcal {B}})\left\{({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {B}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}\right\}$ 这样根据无限并集性质的定理(1)又会有 $(\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}$ 考虑到 ${\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)\subseteq {\mathcal {P}}(A)$ ，从无限并集性质的定理(1)与定理(2)有 $\bigcup {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)\subseteq A$ 所以最后从(b)有 $(\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A=\bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}$ 所以 $x\in \bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})$ 最后等价于 $(\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (x\in A)\right]$ 换句话说 $x\in \bigcup {\mathfrak {A}}$ 这样考虑到 ${\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {F}}$ 就有 $\bigcup {\mathfrak {A}}=\bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})\in {\mathcal {U}}$ 所以在本定理的前提下， 对所有 ${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}$ 都有 $\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {U}}$ 。 (4)等价于“ $U,\,V\in {\mathcal {U}}$ 则 $U\cap V\in {\mathcal {U}}$”的条件 若 “对所有的 $U,\,V\in {\mathcal {U}}$ 有 $U\cap V\in {\mathcal {U}}$”(P) 因取任意 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ 都有： $B_{1}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}$ $B_{2}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}$ 故 $B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}$ ，换句话说从假设(P)可以推出： “对所有 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ ，$B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}$”(P') 另一方面， $U\cap V\in {\mathcal {U}}$ 可等价地展开为： $(\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U\cap V=\bigcup {\mathcal {E}}\right)\right\}$ 因为 $U,\,V\in {\mathcal {U}}$ 可等价地展开为： $(\exists {\mathcal {A}})\left[\left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]$ $(\exists {\mathcal {B}})\left[\left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]$ 所以在 $U,\,V\in {\mathcal {U}}$ 的前提下 $U\cap V\in {\mathcal {U}}$ 又可更进一步等价地展开为： $(\exists {\mathcal {A}})(\exists {\mathcal {B}})(\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}},\,{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge \left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge \left[\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)=\bigcup {\mathcal {E}}\right]\right\}$ 此时考虑到一阶逻辑的定理(Ce)，连续使用两次会有： $\left[x\in \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)\right]\Leftrightarrow (\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (x\in A\cap B)]$ 这样的话，若取一个包含所有 $A\cap B$ 的集族： ${\mathcal {C}}:=\left\{S\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (S=A\cap B)]\right\}$ 这样就有： $\bigcup {\mathcal {C}}=\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)$ 而且考虑到 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}}$ 和 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}$ ，所以在(P')的前提下，所有的 $A\cap B$ 都在 ${\mathcal {U}}$ 里，换句话说，${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {U}}$ ，故从上小结的结果有： $U\cap V\in {\mathcal {U}}$ 所以，(P')跟(P)等价。 综合上面的(a1)、(a2)、和(P')，本定理得证。$\Box$

一般会根据无限并集性质的定理(4)，将第二个条件等价的写为：

“对所有 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ ， $B_{1}\cap B_{2}=\bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]$”

也就等价于：

“所有的 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ ，对任意 $x\in B_{1}\cap B_{2}$ 都存在 $C\in [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]$ 使得 $x\in C$”

定义

由上面动机一节的定理，可以作如下的定义：

定义 — 
${\mathfrak {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 为集合 $X$ 的一个子集族，若满足：

• $\bigcup {\mathfrak {B}}=X$　（基的元素覆盖$X$）
• 所有的 $B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}$ ，对任意 $x\in B_{1}\cap B_{2}$ 都存在 $C\in [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]$ 使得 $x\in C$

则称 ${\mathfrak {B}}$ 为 $X$ 的一个拓扑基（Topological Basis）。而：

$\tau :=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}$

则称为由基 ${\mathfrak {B}}$ 所生成的拓扑。

范例

以所有实数线中的开区间为元素所构成的集合是拓扑基，因为：

• 任意实数 $r\in \mathbb {R}$ 都包含在某个开区间里，如 $(r-1,\,r+1)$ 。故开区间全体“覆盖”了整条实数线。
• 任何两个开区间的交集要么也是开区间要么为空。
• 对任意开区间 $(a,\,b)$ 内的实数 $c\in (a,\,b)$ ，都有一个比 $(a,\,b)$ 更小的开区间也包含 $c$ ，如 $\left({\frac {a+c}{2}},\,{\frac {b+c}{2}}\right)$ 。

这些性质正好满足拓扑基的定义。

更一般的来说，以度量空间的开球为元素所构成的集合是拓扑基，因为：

• 度量空间的任意点都可作为开球的球心，故开球全体“覆盖”了整个度量空间。
• 取任二开球$B_{r_{a}}(a)$和$B_{r_{b}}(b)$，若$x\in B_{r_{a}}(a)\cap B_{r_{b}}(b)$，且 $r=\min\{r_{a}-d(x,\,a),\,r_{b}-d(x,\,b)\}$，则$B_{r}(x)\subseteq B_{r_{a}}(a)\cap B_{r_{b}}(b)$。

重要性质

定理 — 
${\mathcal {B}}$ 是集合 $X$ 的拓扑基，则 ${\mathcal {B}}$ 生成的拓扑是包含 ${\mathcal {B}}$ 的最粗拓扑

证明

设 ${\mathcal {B}}$ 所生成的拓扑是 $\tau _{\mathcal {B}}$ ；另一方面包含 ${\mathcal {B}}$ 的最粗拓扑为 $\tau ({\mathcal {B}})$ 。 根据最粗拓扑的定义有： $\vdash (\forall S){\big \{}[S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}{\big \}}$(a) 那以量词公理(A4) 将 $\forall S$ 去掉会有： $\vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}$ 那再使用量词公理(A4)，配合(D1)会有： $\vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Rightarrow \{[(\tau _{B}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq \tau _{B})]\Rightarrow (S\in \tau _{B})\}$ 因为 $\tau _{\mathcal {B}}$ 是 ${\mathcal {B}}$ 所生成的拓扑，配合(D2)有：（${\mathcal {P}}$ 为 “${\mathcal {B}}$ 是 $X$ 的拓扑基”的正式叙述） ${\mathcal {P}}\vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Rightarrow (S\in \tau _{B})$ 另一方面，根据拓扑基的定义有： ${\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash (\exists {\mathcal {C}})\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]$ 而根据拓扑的定义(关于并集的部分)与演绎定理会有： ${\mathcal {P}},\,[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})],\,\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]\vdash (S\in {\mathfrak {T}})$ 这样根据(GEN)与演绎定理就有： ${\mathcal {P}},\,[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\vdash (\exists C)\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})$ 换句话说，从演绎定理与(D1)有： ${\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash [({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})$ 那从普遍化元定理就有： ${\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}$ 这样从(a)，配合(AND)与(D1)就有： ${\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash S\in \tau ({\mathcal {B}})$ 这样从(AND)和演绎定理就有： ${\mathcal {P}}\vdash (S\in \tau _{B})\Leftrightarrow [S\in \tau ({\mathcal {B}})]$ 套用(GEN)将 $\forall S$ 重新加入就会有： ${\mathcal {P}}\vdash \tau _{B}=\tau ({\mathcal {B}})$ 故本定理得证。$\Box$

定理 — 
${\mathcal {B}}_{1}$ 和 ${\mathcal {B}}_{2}$ 都是集合 $X$ 的拓扑基，而 $\tau _{1}$ 为 ${\mathcal {B}}_{1}$ 生成的拓扑； $\tau _{2}$ 为 ${\mathcal {B}}_{2}$ 生成的拓扑，则以下两叙述价

• $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$
• $(\forall B_{1}\in {\mathcal {B}}_{1})(\exists B_{2}\in {\mathcal {B}}_{2})(B_{2}\subseteq B_{1})$

证明

• 如果 B₁,B₂,...,B_n 是拓扑 T₁,T₂,...,T_n 的基，则集合积 B₁ × B₂ × ... × B_n 是乘积拓扑 T₁ × T₂ × ... × T_n 的基。在无限乘积的情况下这仍适用，除了出现有限多个基元素之外全部都必须是整个空间之外。
• 设 B 是 X 的基并设 Y 是 X 的子空间。那么如果我们交 B 的每个元素于 Y，结果的集合的搜集是子空间 Y 的基。

定理 — 
${\mathfrak {B}}$是集合$Y$ 的拓扑基（其生成的拓扑为$\tau _{Y}$）； $(X,\,\tau _{X})$为一拓扑空间；$f:X\to Y$为一函数。若对任意$B\in {\mathfrak {B}}_{Y}$有$f^{-1}(B)\in \tau _{X}$，则$f$是$\tau _{X}$-$\tau _{Y}$连续。

证明
若$O\in \tau _{Y}$，根据基的定义，存在${\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {B}}$使得： $O=\bigcup {\mathcal {F}}$ 这样的话，若取： $f^{-1}({\mathcal {F}})=\{A\,|(\exists B\in {\mathcal {F}})(A=f^{-1}(B))\,\}$ 则有： $f^{-1}(O)=\bigcup f^{-1}({\mathcal {F}})$ $f^{-1}({\mathcal {F}})\subseteq \tau _{X}$ 这样根据拓扑空间的定义就有： $f^{-1}(O)=\bigcup f^{-1}({\mathcal {F}})\in \tau _{X}$ 故$f$是$\tau _{X}$-$\tau _{Y}$连续。$\Box$

• X 的子集的搜集是 X 上的拓扑当且仅当它生成自身。
• B 是拓扑空间 X 的基，当且仅当 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，对于 X 的任何点 x。
• 给定拓扑的一个基，要证明网或序列的收敛，在包含假定极限的所有基中的集合中最终证明它就是充分的。

依据基定义的对象

• 序拓扑通常定义为类似开区间的集合的搜集所生成的拓扑。
• 度量拓扑通常定义为开球的搜集生成的拓扑。
• 第二可数空间是有可数基的拓扑。
• 离散拓扑有由所有单元素集合组成的基。

闭集基

闭集同样擅长描述空间的拓扑。因为有对于拓扑空间的闭集的对偶的基的概念。给定一个拓扑空间 X， X 的闭集基是闭集的集合族 F 使得任何闭集 A 是 F 的元素的交集。

等价的说，闭集族形成了闭集基，如果对于每个闭集 A 和每个不在 A 中的点 x，存在一个 F 的元素包含 A 但不包含 x。

容易检查 F 是 X 的闭集基，当且仅当 F 的成员的补集的集合族是 X 的开集基。

设 F 是 X 的闭集基。则

1. ∩F = ∅
2. 对于每个 F₁ 和 F₂ 在 F 中，并集 F₁ ∪ F₂ 是 F 的某个子族的交集(就是说，对于任何不在 F₁ 或 F₂ 的 x，存在一个 F₃ 在 F 包含 F₁ ∪ F₂ 并不包含 x)。

满足这些条件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓扑的闭集基。这个拓扑的闭集完全就是 F 的成员的交集。

在某些情况下，更习惯使用闭集基而非开集基。例如，一个空间是完全正规空间，当且仅当它的零集形成了闭集基。给定任何拓扑空间 X，零集形成在 X 上某个拓扑的闭集基。这个拓扑将是 X上比最初的要粗的最细的完全正规拓扑。在类似的脉络下，在 Aⁿ 上的 Zariski拓扑被定义为选取多项式函数的零集作为闭集基。

准基

若拓扑空间$X$是最小的拓扑使得$X$的子集的集$B$都是$X$的开集，则称$B$为$X$的一个准基（subbasis/subbase）。另一等价的定义为，若$B$及其所有有限交集构成了拓扑空间$X$之基，则$B$为准基。

例子：

• 在实数线上，所有长度为1的开区间便是一个准基。

J.W. 亚历山大证明了：若每个准基覆盖都有一个有限个元素的子覆盖，则此空间是紧致的。

参考文献

• James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
• Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.