外测度

在数学中，特别是测度论中，外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值的函数，并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进，目的是给可测集和可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上（例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理）。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量，现在称为豪斯多夫维数。

从长度，面积及体积归纳出来的测度概念，对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数$\varphi$,使其满足以下4个条件：

1. 任意实数区间 $[a,b]$有测度$b-a$；
2. 测度函数 $\varphi$是非负扩展实数值函数，定义在$\mathbb {R}$的所有子集合上；
3. 平移不变性：任给集合$A$和实数$x$，$A$与$A+x$ 有相同的测度(这里，$A+x=\{a+x:a\in A\}$）；
4. 可数可加律：对$X$的任意的两两无交的子集序列$\{A_{j}\}$，有：

$\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i})$。

事实上，这几条要求是不相容的。这样的测度函数 $\varphi$不能定义在$\mathbb {R}$的所有子集上，也就是说，不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合，使得可数可加性得到满足。

定义

外测度是从 $X$ 的幂集合映到 $[0,\infty ]$的函数

$\varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ]$

且满足以下条件：

• 空集合的外测度为零：

$\varphi (\varnothing )=0$

• 单调性：

$A\subseteq B\Rightarrow \varphi (A)\leq \varphi (B)$

• 次可加性: 对 X 的任意子集序列 $\{A_{j}\}$（不管两两交集是否空集合）

$\varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j})$

接着可以借由外测度来定义 X 中的可测集合：子集合 $E\subseteq X$ 是 $\varphi$-可测的，当且仅当对 $X$ 的任意子集合 $A$ 有：

$\varphi (A)=\varphi (A\cap E)+\varphi (A\cap E^{c}).$

所有的 $\varphi$-可测集合构成了一个$\sigma$-代数 ，且如果 $\varphi$限制在我们刚定义的可测集合上时，$\varphi$ 会有可数可加的完备测度性质。这个方法是Carathéodory构造出来的，是构造勒贝格测度和积分理论的重要方法。

外测度与拓扑学

假设 $(X,d)$是一个度量空间且 $\varphi$是一个在 $X$之上的外测度。若 $\varphi$有以下性质 ：

只要

$d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,$

就有

$\varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)$

那么称$\varphi$是一个度量外测度。

如果$\varphi$是$X$上的度量外测度，那么$X$的每个Borel子集都是$\varphi$-可测的。

外测度的构造

有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。

令$X$为一集合，$C$是$X$的包含空集的子集族，$p$是$C$上的非负扩展实数值函数，且$p$ 在空集处取零。

那么定义

$\varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}$

则$\varphi$是一个外测度。

另一种方法在度量空间上更有效，因为它直接得到了度量外测度。设 $(X,d)$是一个度量空间，$C$是$X$的包含空集的子集族，$p$是$C$上的非负扩展实数值函数，且$p$在空集处取零。那么，对任意$\delta >0$，令

$C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}$

及

$\varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.$

对$\delta \leq \delta '$有$\varphi _{\delta }\geq \varphi _{\delta '}$ 成立，因为$\delta$减小时，下确界是在更小的集合上取得的。所以

$\lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]$

存在（可能是无穷大）。

这样构造的$\varphi _{0}$是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。

参考

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950

• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953