广义黎曼猜想

黎曼猜想是数学中最重要的猜想之一，描述了黎曼ζ函数非平凡零点的分布规律。而其中黎曼ζ函数可以用各种整体L函数（global L-function）替代，由此得到黎曼猜想不同类型的推广。这些推广的猜想描述的是不同L函数非平凡零点分布的规律。许多数学家相信这些猜想是正确的。不过其中仅有部分函数域情形下的推广得到了证明。

整体L函数可以与椭圆曲线、数域（此时称为戴德金ζ函数）、马斯形式（Maass form）或狄利克雷特征（此时称为狄利克雷L函数）相联系。其中，描述戴德金ζ函数的黎曼猜想被称为扩展黎曼猜想（extended Riemann hypothesis，ERH），而描述狄利克雷L函数的黎曼猜想则被称为广义黎曼猜想（generalized Riemann hypothesis，GRH）。（也有许多数学家用“广义黎曼猜想”用作对各种整体L函数推广的总称，而非单指狄利克雷L函数下的情形。）

广义黎曼猜想

狄利克雷L函数下的广义黎曼猜想最初可能是由皮尔茨（Piltz）于1884年提出的。与原始的黎曼猜想类似，该猜想对研究素数分布十分重要。

如查一个已知的狄利克雷特征χ，可以定义如下狄利克雷L函数

$L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$

其中，s为实部大于1的所有复数。这一函数可以解析延拓为整个复平面上的亚纯函数。广义黎曼猜想即是指，狄利克雷L函数L(χ,s)的所有非平凡零点的实部都为1/2。

当对所有n都有χ(n) = 1时，广义黎曼猜想退化为普通的黎曼猜想。

广义黎曼猜想的结果

狄利克雷定理指称，若a和d为彼此互质的自然数，那么在以a为首项，以d为公差的等差数列$a,a+d,a+2d,\cdots$中会包含无穷多个质数。设π(x, a, d)为前述的等差数列中不大于x的质数，那么在广义黎曼猜想成立的状况下，对于任意彼此互质的a和d的以及任意的$\varepsilon >0$而言，有以下关系式：

$\pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt+O(x^{1/2+\varepsilon })\quad {\mbox{ as }}\ x\to \infty ,$

其中$\varphi$是欧拉函数 ，而$O$是大O符号。这是质数定理的一个显著改进。

若广义黎曼猜想成立，那么$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$这个乘法群的所有真子群，都会略过一个小于2(ln n)²的数，以及一个小于3(ln n)²且和n互质的数；也就是说，$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$可由一个小于2(ln n)²的数构成的集合生成。这点常用于证明，且有着许多结果，其中一些在假定广义黎曼猜想成立的状况下因此可得的结果如下：

• 米勒-拉宾质数判定法保证以多项式时间运行。（然而2002年出现了AKS质数测试这个不需仰赖广义黎曼猜想且以多项式时间运行的质数判定法。）
• Shanks–Tonelli算法保证以多项式时间运行。
• Ivanyos–Karpinski–Saxena deterministic决定性算法 这个用以分解有限域上次数为质常数光平滑数的多项式的算法保证以多项式时间运行。

若广义黎曼猜想成立，那么对于任意的质数p而言，都有一个小于$O((\ln p)^{6})$的原根。

弱哥德巴赫猜想在广义黎曼猜想成立的状况下成立，在哈洛德·贺欧夫各特对弱哥德巴赫猜想的证明中，他确认了广义黎曼猜想对数千个虚部大到特定大小的小特征成立，并因此证明了弱哥德巴赫猜想对所有大于$10^{2}9$的正整数成立，而对于比这数小的状况，则直接以计算验证。

在广义黎曼猜想成立的状况下，Pólya–Vinogradov不等式中对特征和的估计值可改进为$O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)$，其中q是特征的模。

Linnik-Sprindzuk定理

Linnik-Sprindzuk定理是一个在普通的黎曼猜想成立的状况下，满足特定条件就可推出广义黎曼猜想的定理。

这定理指出，在普通的黎曼猜想成立的前提下，如果对以最简分数表达且$0<|h|\leq {\frac {k}{2}}$的有理数$\xi ={\frac {h}{k}}$，以及任意给定的$\varepsilon >0$而言，以下关系式在$x\to 0^{+}$时成立，那狄利克雷L函数上的广义黎曼猜想成立：

$\sum _{\rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }|\gamma |^{i\gamma }e^{-i\gamma -{\frac {\pi |\gamma |}{2}}}(x+2\pi i\xi )^{-\rho }+{\frac {\mu (k)}{\phi (k)}}{\frac {1}{x{\sqrt {2\pi }}}}\leq C(\xi ,\varepsilon )x^{-{\frac {1}{2}}-\varepsilon }$，其中$\mu$是默比乌斯函数，$\phi$是欧拉函数，$\rho$是黎曼ζ函数的非平凡零点，而$\gamma$是$\rho$的虚部，而$C(\xi ,\varepsilon )$是一个取决于$\xi$和$\varepsilon$的常数。

这定理及变体仅要求黎曼ζ函数的非平凡零点有特定的分布，而不需要对狄利克雷L函数的零点分布有任何了解。

扩展黎曼猜想

假设K为数域（有理数域的有限次代数扩张域），O_K为K的整数环，a为O_K的理想，Na则为非零理想的绝对范数。于是可以定义K上的戴德金ζ函数

$\zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}$

其中，s为实部大于1的所有复数。求和运算对O_K的所有非零理想a进行。

这一函数也可以解析延宕到整个复平面上。扩展黎曼猜想是指，戴德金ζ函数ζ_K(s)的所有非平凡零点的实部都为1/2。

当数域K取有理数域Q，其整数环则为Z时，扩展黎曼猜想退化为普通的黎曼猜想。

拓展黎曼猜想的一个结果是Chebotarev密度定理的有效形式。也就是说，设L / K是伽罗瓦群G的有限伽罗瓦扩张，并设C是G的共轭类的联集，那么K对于Frobenius共轭类小于范x的未分岐质数的数量如次：

${\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )}$

其中由大O符号指出的常数是绝对的，而n是L在有理数域Q上的次数，而Δ为判别式。

参见

• 阿廷L函数猜想
• 狄利克雷L函数
• 塞尔伯格类
• 大黎曼猜想

延伸阅读

• Hazewinkel, Michiel (编), Riemann hypothesis, generalized, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4