施尼勒尔曼密度

设集合$A\subseteq \mathbb {Z}$，$A(n)=|A\cap \{1,2,\ldots ,n\}|$，$A$中不大于$n$的元素的数目。施尼勒尔曼密度（Schnirelmann density）函数$\sigma :{\mathcal {P}}(\mathbb {Z} )\to [0,1]$，或$A$的施尼勒尔曼密度定义为：

$\inf _{n}{\frac {A_{n}}{n}}$

其中inf表示最大下界。若使用$\lim _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}$（如自然密度），可能不存在极限，施尼勒尔曼密度的其中一个好处在于它总是有值的。

性质

• $0\leq \sigma A\leq 1$
• $\forall n\ A(n)\geq n\sigma A$
• $\sigma A=1\leftrightarrow A=\mathbb {N}$
• $\forall k\ k\notin A\rightarrow \sigma A\leq 1-1/k$.

特别地

$1\notin A\rightarrow \sigma A=0$

$2\notin A\rightarrow \sigma A\leq 1/2$

• $\sigma A=0\rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n$

曼定理

设${\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }$，拉格朗日四平方和定理可以写成$\sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=1$，其中$A\oplus B$表示$A$和$B$的和集。

显然，$\sigma {\mathfrak {G}}^{2}=0$，另外也有$\sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=0$。那么施尼勒尔曼密度1是怎样得来的呢？原来$\sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=5/6$。尽管只有一、两个平方数集的和集的密度都是0，但之后和集的施尼勒尔曼密度会慢慢增加。

施尼勒尔曼指出：

$\sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B$

亨利·曼证明了更强的条件：

$\sigma (A\oplus B)\geq \min(\sigma A+\sigma B,1)$