正二十面体

正二十面体
	; (按这里观看旋转模型)
类别	帕雷托立体; 正多面体
对偶多面体	正十二面体
识别
名称	正二十面体
参考索引	U22, C25, W4
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	ike
数学表示法
施莱夫利符号	; {3,5}
威佐夫符号; （英语：Wythoff symbol）	5 \| 2 3
康威表示法	I; sT
性质
面	20
边	30
顶点	12
欧拉特征数	F=20, E=30, V=12 （χ=2）
二面角	138.189685°
组成与布局
面的种类	正三角形
面的布局; （英语：Face configuration）	20个{3}
顶点图	3.3.3.3.3
对称性
对称群	Ih
特性
	正凸三角面多面体
图像
	; 3.3.3.3.3; （顶点图）
	; （展开图）

正二十面体是一种正多面体，由20个正三角形组成。同时，它也是帕雷托立体、三角面多面体以及康威多面体。正二十面体是所有五种凸正多面体面数最多的。正二十面体可以由正五角反棱柱构成，方法是透过在正五角反棱柱的两个五边形底面各叠上一个正五角锥构成，因此正二十面体也是一种双锥反柱体。^[1]

正二十面体有20个面、30个边和12个顶点，其对偶是正十二面体。正二十面体和其对偶多面体在比较及测定上有些历史背景。它的顶点布局（英语：Vertex_configuration）为3.3.3.3.3或3⁵，在施莱夫利符号中可用{3,5}来表示。^[2]

有不少多面体是基于正二十面体建构的，其中一个显著的例子是星形二十面体，这些立体共有五十九种，其皆可透过正二十面体作为核建构而来。^[3]以及大十二面体，其可以透过将正二十面体刻面得到。另一个例子则是詹森多面体。许多詹森多面体可透过移除正二十面体的局部结构——如五角锥——来构建。^[4]

正二十面体这种形状可以在自然界中找到。一个较广为人知的例子是生物学中的衣壳，不少病毒的衣壳为正二十面体形。^[5]正二十面体的其他应用包括其在地图制图学中的一种投影网格用途^[6]；另一个用途则是从古至今皆有出现过二十面骰子^[7]，近代主要用于桌游。

性质

正二十面体是一个帕雷托立体，由20个面、30条边和12个顶点组成^[8]。其20个面皆为全等的正三角形，^[9]并且有43,380种不同的展开图。^[10]正二十面体每个顶点都是5个正三角形的公共顶点，顶点图可以用正五边形表示，记为3.3.3.3.3或3⁵^[11]，在施莱夫利符号中可用{3,5}^[2]或 $s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ 来表示^[12]；其中{3,5}意指几何体由三角形组成，每个顶点周围都有5个三角形^[14]，因此其对偶多面体为正十二面体^[15]———每个面都是正五边形、每个五边形都是三面角———这样的表面布局下，若要将正二十面体的表面涂色而相邻的面的颜色不同，则至少需要3种颜色^[16]。

从展开图折叠回正二十面体的连续动画
正二十面体展开图的另一种形式
表面涂上三种颜色的正二十面体

外接球与内切球

若有一个边长为a的正二十面体，则它的外接球（同时过该正二十面体所有顶点的球）的半径为：^[8]

r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=a\sin {\frac {2\pi }{5}}\approx 0.9510565163\cdot a

（OEIS数列A019881）

它的内切球（同时和该正二十面体所有面相切的球）的半径为：^[8]

r_{i}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0.7557613141\cdot a

（OEIS数列A179294）

另外，它的中分球（同时和该正二十面体所有边相切的球）的半径为：^[8]

r_{m}={\frac {a\varphi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=a\cos {\frac {\pi }{5}}\approx 0.80901699\cdot a

（OEIS数列A019863）

其中φ （也称作τ）为黄金比例。^[9]

体积与表面积

若用A表示表面积、V表示体积，而a是正二十面体的边长，则有：^[8]

A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.66025404a^{2},

（OEIS数列A010527）

V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2.18169499a^{3}.

（OEIS数列A102208）

后者约为正四面体的 $F=20$ 倍，因为正二十面体以外接球球心为中心可以切割出20个四面体，每个四面体的体积是底面积 ${\tfrac {{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}$ 乘上高 $r i$ 再乘三分之一。

正二十面体占其外接球体积的比率为：

f=V/(4\pi r_{u}^{3}/3)={\frac {20(3+\surd 5)}{(2\surd 5+10)^{3/2}\pi }}\approx 0.6054613829.

一个可以追溯到古希腊的问题是确定内接于同一球体的正二十面体和其对偶多面体——正十二面体——两个形状中何者体积较大。这个问题已被希罗、帕普斯和斐波那契等人解决。^[18]阿波罗尼奥斯发现了一个奇怪的结果：这两个形状的体积比与其表面积比相同。^[20]两者的体积公式都涉及到了黄金比例只是次方不同。^[22]

二面角

正二十面体的二面角可以透过正五角锥与正五角反棱柱的角度来计算，由于正二十面体可以透过将正五角锥与正五角反棱柱底面对底面叠合来构造^[23]，因此，正二十面体的二面角则为正五角锥与正五角反棱柱底面与侧面夹角之和。正五角反棱柱五边形面与三角形面间的夹角，即底面与侧面的二面角约为100.8度、正五角锥五边形面与三角形面间的夹角，即底面与侧面的二面角约为37.4度，因此可以得到正二十面体的二面角约为 ${{37.4}+{100.8}}=138.2$ 度。^[25]^[27]

具体数值约为三分之负根号五的反余弦值：^[28]^[9]

\cos ^{-1}\left(-{\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)\approx 2.411865\approx 138.189685^{\circ }

直角坐标系

在直角坐标系中，一个边长为二、几何中心在原点的正二十面体的坐标分别为：^[29]

(0, \pm1, \pm φ)

(\pm1, \pm φ, 0)

(\pm φ, 0, \pm1)

其中 $φ = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 + √5/2$ 是黄金比例（或记为 $τ$ ）。值得注意的是，这些顶点能共同形成五组，每组拥有三个同心、相互垂直的黄金矩形，其边形成博罗梅安环（英语：Borromean rings），其中，前者是因为正二十面体与黄金比例有密切的关系。如果原始的二十面体的边长为1，那么它的对偶——正十二面体的边长就是 $\sqrt 5 - 1 / 2$ ，正好是一个黄金比例。^[9] 12条边的一个正八面体可以被细分在黄金比例，使所得到的顶点可构成一个正二十面体。这首先要使沿着八面体边的向量连成一个有界的环，再沿着向量的方向以黄金比例作分割。^[30]

球面坐标

正二十面体是一个D_5d二面体对称对称的一个双五角锥反角柱，且顶点可以定义在球面坐标系上，其中两个顶点在球的两极，其余在纬度±arctan(1/2)的位置。可以发现剩余的10顶点属于反棱柱对称，从一个定点，经度每36°做一次极轴与赤道镜射，直到回到原始点。^[32]

与黄金分割的关系

若以正二十面体的中心为原点，各顶点的坐标分别为 ${(0,\pm1,\pmΦ), (\pm1,\pmΦ,0), (\pmΦ,0,\pm1)$ }，在此 $Φ = \sqrt 5 - 1 / 2$ ，即黄金分割数。因此，这些顶点能共同形成五组，每组拥有三个同心、相互垂直的黄金矩形。^[29]

正交投影

正二十面体有3种特殊的正交投影，分别正对着一个面、一条棱、一个顶点。正对于面及正对于顶点之正交投影的对称性对应于A₂ 和 H₃的考克斯特平面^[33]^[34]。

正交投影
正对于	面	棱	顶点
考克斯特平面（英语：Coxeter plane）	A₂	A₃	H₃
图像
投影对称性	[6]	[2]	[10]
图像	面法线	棱法线	对角线

对称性

半正涂色和子对称群

正二十面体作为扭棱四面体，可以通过旋转正四面体的正三角形面，并在4个顶点处插入新的三角形，在原来的6条棱处插入新的一对三角形来构造

作为正多面体之一，正二十面体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将正二十面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使其拥有不同的次级对称性。正二十面体有三种不同的半正涂色方法，可以按照一个顶点引出的5个面的涂色来标记为11213、11212、11111。正二十面体可以被描述为扭棱正四面体，具有手征性正四面体对称性（英语：tetrahedral symmetry）；它亦可以被描述成交错截顶正八面体，有五角十二面体对称性（英语：pyritohedral symmetry）。这个具有五角十二面体对称的正二十面体也被叫做伪二十面体，是五角十二面体的对偶^[35]。

名称	正二十面体	交错截角八面体	扭棱正四面体	正五双锥反柱体
考克斯特-迪肯（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{3,5}	h_0,1{3,4}	s{3,3}
Wythoff符号（英语：Wythoff symbol）	5 \| 3 2		\| 3 3 2
对称性（英语：List of spherical symmetry groups）	I_h [5,3] (*532)	T_h [3⁺,4] (3*2)	T [3,3]⁺ (332)	D_5d [2⁺,10] (2*5)
对称群阶	60	24	12	10
半正涂色	(11111)	(11212)	(11213)	(11122)&(22222)

构造

要构造一个正二十面体有很多种方法：

透过正五角反棱柱来构造（需为底面和侧面都是正多边形的反棱柱）：将两个正五角锥（需为每个面都是正多边形的正角锥）以五边形底面对底面连接到正五角反棱柱的每个底面上即可构造出正二十面体。^[23]^[36]^[37]这种构造使得正二十面体成为复合体；锥体是基本几何体，这意味着它们不能再被切成更小的凸多面体。这种构造过程称为双锥反柱体，与双锥反柱体家族中的其他多面体一样，因此这种立体又称为双五角锥反角柱。^[38]

透过立方体来构造：在立方体上的每个面分别放置两个顶点，每个立方体面上的两个顶点为离相对边中点距离恰为黄金比例的点，这两点连线，并令这十二个顶点描述三个互相垂直的平面，每四个顶点描述一个面，这十二个点即可构成正二十面体。^[40]

透过正八面体来构造：首先将正八面体三角形面与面之间的连结两两断开，并向外扭曲扩张，直到扩张到足够置入两个新的正三角形大小缝隙后停止。停止扭曲扩张后，于空隙填入新的正三角形即完成正二十面体。这个过程称为考克斯特扭棱变换，因此正二十面体也称为扭棱正八面体。^[30]

透过正四面体来构造：由正四面体构造正二十面体的连续动画 — **透过正四面体来构造**：由正四面体构造正二十面体的连续动画

透过正四面体来构造：其可以视为正四面体的扩张，也就是将正四面体的面向外分开，并围绕着中心扭曲（不改变面的形状），然后加入以每个原始立体顶点为中心的三角形，并在每个原始立体之边的位置上加入成对的三角形来构成。^[42]^:99。这个过程称为开普勒扭棱变换，因此正二十面体也称为扭棱四面体。^[43]^[44]

根据上面的构造方式，可以得到正二十面体是帕雷托立体，因为其20个面都是正三角形。这也导致正二十面体是仅有的八个凸三角面多面体之一。^[46]^[36]其一共有44,380种不同的展开方式。^[48]

通过一系列等夹角线段构造正二十面体

正二十面体
H₃考克斯特平面

六维正轴体（英语：6-orthoplex）
D₆考克斯特平面

这个操作可以以几何的观点被看作六维正轴体的12个顶点投影到三维空间。这代表着一个D₆到H₃考克斯特群的几何折叠（英语：Coxeter–Dynkin diagram#Geometric_folding）：

见这些二维考克斯特平面（英语：Coxeter plane）正交投影，中间投影后重合的两个顶点给出了这个图像中的第三根轴

以下构建正二十面体的方法避免了使用更基础的方法时必要的在数域 $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ 中的复杂计算。
正二十面体的存在性依赖于 $\mathbb {R} ^{3}$ 中6条等夹角线的存在性。事实上，我们很容易便可以发现，这样一组等夹角线与欧几里得空间中的球心在等夹角线所共的交点的球相交，得出的交点即是一个正二十面体的12个顶点。从相反方向考虑，假设这里存在一个正二十面体，它的6对相对顶点的连线（对角线）就形成了那样一个等夹角线系统。
为了构建这样一个等夹角线系统，我们开始于一个6×6方形矩阵。^[49]

A=\left({\begin{array}{crrrrr}0&1&1&1&1&1\\1&0&1&-1&-1&1\\1&1&0&1&-1&-1\\1&-1&1&0&1&-1\\1&-1&-1&1&0&1\\1&1&-1&-1&1&0\end{array}}\right).

通过直接的计算，我们可以得出A²=5I（在这里I是6×6单位矩阵）。这表明矩阵I的特征值是 ${\sqrt {5}}$ 和 $-{\sqrt {5}}$ ，并且它们的复杂性都是3，因为A是对称的，并且它的迹是0。^[49]
矩阵 $\scriptstyle A+{\sqrt {5}}I$ 在商空间 $\mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)$ 中引出了一个同构于 $\mathbb {R} ^{3}$ 的欧几里得结构因为它的核 $\ker(A+{\sqrt {5}}I)$ 是三维的。在 $\mathbb {R} ^{6}$ 中，它的六条坐标轴线 $\mathbb {R} v_{1},\dots ,\mathbb {R} v_{6}$ 在投影 $\pi :\mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)$ 下的图像形成了这样一个在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中由六条等夹角线组成的系统，它们都相交于一点，两两之间都夹着锐角 $\scriptstyle {\arccos }{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}$ 。±v₁，...，±v₆向A的 ${\sqrt {5}}$ -特征空间的正交投影形成了正二十面体的12个顶点。
正二十面体另一个直接的构造用到了交错群A₅的群表示论方法，它直接利用了正二十面体的等距同构。^[50]

应用

由于正二十面体非常均匀，且有20个面，因此适合制成骰子。^[56]^[57]

在生物学中

某些病毒，如疱疹病毒科、诺罗病毒、腺病毒和噬菌体等，拥有正二十面体的衣壳。^[58]^[59]在有些细菌中还发现具有二十面体形状的各种细菌的胞器，^[60]二十面体的壳包住酶和不稳定的中间产物，该壳由具BMC结构域（英语：BMC domain）的不同蛋白质构成。

1904年，恩斯特·海克尔发表了一些放射虫的种类，包括Circogonia二十面体（Circogonia icosahedra），其骨架的形状像一个正二十面体。

二十面的骰子
电子显微镜下观察的金原子
γ-硼的结构
噬菌体

注释

^ 内角120度为可密铺空间的最大角度（可被360度整除的最大度数）

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 Silvester, John R. Geometry: Ancient and Modern. Oxford University Publisher. 2001.
^ ^2.0 ^2.1 Weisstein, Eric W. (编). Uniform Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Stellations of the Icosahedron. brokk.me.uk. [2019-10-24]. （原始内容存档于2018-03-21）.
^ Timofeenko, A. V., Convex Polyhedra with Parquet Faces (PDF), Docklady Mathematics, 2009, 80 (2): 720–723 [2025-05-26], doi:10.1134/S1064562409050238, （原始内容存档 (PDF)于2025-03-19） .
^ Caspar DL, Klug A. Physical principles in the construction of regular viruses. Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology. 1962, 27: 1–24. PMID 14019094. doi:10.1101/sqb.1962.027.001.005.
^ Gray, Robert W. Fuller's Dymaxion Map. Cartography and Geographic Information Systems. 1994-01-01, 21 (4): 243–246 [2025-05-26]. ISSN 1050-9844. doi:10.1559/152304094782540628 (不活跃 2024-11-01). （原始内容存档于2021-08-21）.
^ Twenty-sided die (icosahedron) with faces inscribed with Greek letters. metmuseum.org. [2025-05-26]. （原始内容存档于2025-05-16）.
^ ^8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 David I. McCooey. Platonic Solids: Icosahedron. [2022-08-23]. （原始内容存档于2024-11-27）.
^ ^9.0 ^9.1 ^9.2 ^9.3 Weisstein, Eric W. (编). Regular Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Pandey, Shivendra and Ewing, Margaret and Kunas, Andrew and Nguyen, Nghi and Gracias, David H and Menon, Govind. Algorithmic design of self-folding polyhedra. Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A. (Proceedings of the National Academy of Sciences). 2011-12, 108 (50): 19885—19890 [2025-05-26]. doi:10.1073/pnas.1110857108. （原始内容存档于2025-05-13）（英语）.
^ Roman E. Maeder. 22: icosahedron. Math Consult AG. 1995 [2019-09-27]. （原始内容存档于2025-04-22）.
^ Wenninger, M.J. Spherical Models. Dover Publications. 2014: 53 [2018-09-16]. ISBN 9780486143651. （原始内容存档于2018-09-16）.
^ Walter, Steurer; Deloudi, Sofia. Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures. Springer Series in Materials Science 126. 2009: 50. ISBN 978-3-642-01898-5. doi:10.1007/978-3-642-01899-2.
^ Walter & Deloudi 2009^[13], 50
^ Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #27. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2025-01-15）.
^ Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover. 1987: 239–242.
^ Herz-Fischler, Roger. A Mathematical History of the Golden Number. Courier Dover Publications. 2013. ISBN 978-0-486-15232-5.
^ Herz-Fischler 2013 ^[17], 138–140
^ Simmons, George F. Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics. Mathematical Association of America. 2007. ISBN 978-0-88385-561-4.
^ Simmons 2007^[19], 50
^ Sutton, Daud. Platonic & Archimedean Solids. Wooden Books. Bloomsbury Publishing USA. 2002. ISBN 978-0-8027-1386-5.
^ Sutton 2002^[21], 55
^ ^23.0 ^23.1 Silvester 2001^[1], 140–141
^ Johnson, Norman W. Convex polyhedra with regular faces. Canadian Journal of Mathematics. 1966, 18: 169–200. MR 0185507. Zbl 0132.14603. doi:10.4153/cjm-1966-021-8.
^ Johnson 1966^[24], table II, line 4.
^ MacLean, Kenneth J. M. A Geometric Analysis of the Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra. Loving Healing Press. 2007. ISBN 978-1-932690-99-6.
^ MacLean 2007^[26], 43–44
^ Richard Klitzing. icosahedron, ike. bendwavy.org. [2025-05-27].
^ ^29.0 ^29.1 Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ ^30.0 ^30.1 ^30.2 Kappraff 1991^[41], 475
^ Seidel, J. J. Corneil, D. G.; Mathon, R. , 编. Geometry and Combinatorics. Academic Press. 1991. ISBN 978-1-4832-6800-2.
^ Seidel 1991^[31], 364
^ 约翰·史坦布里奇（英语：John Stembridge）. Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. （原始内容存档于2018-02-10）（英语）.
^ 约翰·史坦布里奇（英语：John Stembridge）. More Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. （原始内容存档于2017-08-21）（英语）.
^ John Baez. Fool's Gold. September 11, 2011 [2021-08-14]. （原始内容存档于2018-05-19）.
^ ^36.0 ^36.1 Cundy, H. Martyn. Deltahedra. The Mathematical Gazette. 1952, 36 (318): 263–266. JSTOR 3608204. S2CID 250435684. doi:10.2307/3608204.
^ Rajpoot, Harish Chandra. Mathematical analysis of regular pentagonal right antiprism (PDF). J Pure Appl Math. 2023-03, 2 (5).
^ Berman, Martin. Regular-faced convex polyhedra. Journal of the Franklin Institute. 1971, 291 (5): 329–352. MR 0290245. doi:10.1016/0016-0032(71)90071-8.
^ Cromwell, Peter R. Polyhedra. Cambridge University Press. 1997. ISBN 978-0-521-55432-9.
^ Cromwell 1997^[39], 70
^ Kappraff, Jay. Connections: The Geometric Bridge Between Art and Science 2nd. World Scientific. 1991. ISBN 978-981-281-139-4.
^ Holme, Audun. Geometry: Our Cultural Heritage. Springer Science & Business Media. 2010-09-23. ISBN 978-3-642-14441-7 （英语）.
^ ^43.0 ^43.1 John Sharp. Have you seen this number?. The Mathematical Gazette. 1998-07, 82 (494): 203–214 [2021-08-16]. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3620403 （英语）.
^ ^44.0 ^44.1 George W. Hart. Symmetry Planes. 1996 [2021-08-14]. （原始内容存档于2021-08-16）.
^ Shavinina, Larisa V. The Routledge International Handbook of Innovation Education. Routledge. 2013. ISBN 978-0-203-38714-6.
^ Shavinina 2013^[45], 333
^ Dennis, L.; McNair, J. Brender; Woolf, N. J.; Kauffman, L. H. The Context – Form Informing Function. McNair, Jytte Brender; Dennis, Lynnclaire; Kauffman, Louis H. (编). Mereon Matrix, The: Everything Connected Through (K)nothing. World Scientific. 2018. ISBN 978-981-323-357-7.
^ Dennis et al. 2018^[47], 169
^ ^49.0 ^49.1 Rauschning, Jan and Slodowy, Peter. An aspect of icosahedral symmetry. Canadian Mathematical Bulletin (Cambridge University Press). 2002, 45 (4).
^ Simões-Pereira, J. A5 and the icosahedron rotations: seeing the facts not only proving them. Journal of Mathematical Sciences. 2016, 3.
^ Buker, W. E.; Eggleton, R. B. The Platonic Solids (Solution to problem E2053). American Mathematical Monthly. 1969, 76 (2): 192. JSTOR 2317282. doi:10.2307/2317282.
^ Dual pairs of polyhedra. polyhedr.com. [2025-05-30].
^ Brandts, Jan and Křížek, Michal and Somer, Lawrence. Regular tessellations of maximally symmetric hyperbolic manifolds (PDF). Symmetry (MDPI). 2024, 16 (2): 141.
^ Duke, Helene. A Study of the Rigidity of Regular Polytopes. The Ohio State University. 2013. （原始内容存档于2025-05-27）.
^ Smith, David E. History of Mathematics 2. Dover Publications. 1958. ISBN 0-486-20430-8.
^ Smith 1958^[55], 295
^ Minas-Nerpel, Martina. A Demotic Inscribed Icosahedron from Dakhleh Oasis. The Journal of Egyptian Archaeology. 2007, 93 (1): 137–148. JSTOR 40345834. doi:10.1177/030751330709300107.
^ C. Michael Hogan. Virus. Encyclopedia of Earth. National Council for Science and the Environment. eds. S. Draggan and C. Cleveland. 2010 [2013-03-24]. （原始内容存档于2011-10-16）.
^ Герпесвирусы. [2005-06-25]. （原始内容存档于2006-03-25）.
^ Bobik, T.A., Bacterial Microcompartments, Microbe (Am. Soc. Microbiol.), 2007, 2: 25–31, （原始内容存档于2013-07-29）

外部链接

埃里克·韦斯坦因, 正二十面体（参阅帕雷托立体）于MathWorld（英文）
Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3o5o - ike. bendwavy.org.
Hartley, Michael. Dr Mike's Math Games for Kids. [2013-03-23]. （原始内容存档于2021-02-07）.
Webb, Robert. Icosahedron. [2013-03-23]. （原始内容存档于2021-01-24）.
The Uniform Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Interactive Icosahedron model - works right in your web browser
Virtual Reality Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） The Encyclopedia of Polyhedra
Tulane.edu A discussion of viral structure and the icosahedron
Paper Models of Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） Many links
Origami Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） - Models made with Modular Origami
Video of icosahedral mirror sculpture （页面存档备份，存于互联网档案馆）
[1] Principle of virus architecture
Stella: Polyhedron Navigator （页面存档备份，存于互联网档案馆）: Software used to create some of the images on this page.

[55] 内角120度为可密铺空间的最大角度（可被360度整除的最大度数）

[Silvester_2001-3] 1.0 ^1.1 Silvester, John R. Geometry: Ancient and Modern. Oxford University Publisher. 2001.

[mathworld_UniformPolyhedron-4] 2.0 ^2.1 Weisstein, Eric W. (编). Uniform Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[5] Stellations of the Icosahedron. brokk.me.uk. [2019-10-24]. （原始内容存档于2018-03-21）.

[timofeenko-2009-6] Timofeenko, A. V., Convex Polyhedra with Parquet Faces (PDF), Docklady Mathematics, 2009, 80 (2): 720–723 [2025-05-26], doi:10.1134/S1064562409050238, （原始内容存档 (PDF)于2025-03-19） .

[Caspar1962-7] Caspar DL, Klug A. Physical principles in the construction of regular viruses. Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology. 1962, 27: 1–24. PMID 14019094. doi:10.1101/sqb.1962.027.001.005.

[8] Gray, Robert W. Fuller's Dymaxion Map. Cartography and Geographic Information Systems. 1994-01-01, 21 (4): 243–246 [2025-05-26]. ISSN 1050-9844. doi:10.1559/152304094782540628 (不活跃 2024-11-01). （原始内容存档于2021-08-21）.

[9] Twenty-sided die (icosahedron) with faces inscribed with Greek letters. metmuseum.org. [2025-05-26]. （原始内容存档于2025-05-16）.

[dmccooey-10] 8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 David I. McCooey. Platonic Solids: Icosahedron. [2022-08-23]. （原始内容存档于2024-11-27）.

[Regular_Icosahedron_mathworld-11] 9.0 ^9.1 ^9.2 ^9.3 Weisstein, Eric W. (编). Regular Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[ARTICLE_Pandey2011-ql-12] Pandey, Shivendra and Ewing, Margaret and Kunas, Andrew and Nguyen, Nghi and Gracias, David H and Menon, Govind. Algorithmic design of self-folding polyhedra. Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A. (Proceedings of the National Academy of Sciences). 2011-12, 108 (50): 19885—19890 [2025-05-26]. doi:10.1073/pnas.1110857108. （原始内容存档于2025-05-13）（英语）.

[Roman_E._Maeder._1995-13] Roman E. Maeder. 22: icosahedron. Math Consult AG. 1995 [2019-09-27]. （原始内容存档于2025-04-22）.

[wenninger2014spherical-14] Wenninger, M.J. Spherical Models. Dover Publications. 2014: 53 [2018-09-16]. ISBN 9780486143651. （原始内容存档于2018-09-16）.

[Walter_Deloudi_2009-15] Walter, Steurer; Deloudi, Sofia. Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures. Springer Series in Materials Science 126. 2009: 50. ISBN 978-3-642-01898-5. doi:10.1007/978-3-642-01899-2.

[Walter_Deloudi_2009_p50-16] Walter & Deloudi 2009^[13], 50

[kaleido-17] Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #27. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2025-01-15）.

[Ball_and_Coxeter_1987,_pp._239-242-18] Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover. 1987: 239–242.

[Herz-Fischler_2013-19] Herz-Fischler, Roger. A Mathematical History of the Golden Number. Courier Dover Publications. 2013. ISBN 978-0-486-15232-5.

[Herz-Fischler_2013_138–140-20] Herz-Fischler 2013 ^[17], 138–140

[Simmons_2007-21] Simmons, George F. Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics. Mathematical Association of America. 2007. ISBN 978-0-88385-561-4.

[Simmons_2007_p50-22] Simmons 2007^[19], 50

[Sutton_2002-23] Sutton, Daud. Platonic & Archimedean Solids. Wooden Books. Bloomsbury Publishing USA. 2002. ISBN 978-0-8027-1386-5.

[Sutton_2002_p55-24] Sutton 2002^[21], 55

[Silvester_2001_p140-141-25] 23.0 ^23.1 Silvester 2001^[1], 140–141

[Johnson_1966-26] Johnson, Norman W. Convex polyhedra with regular faces. Canadian Journal of Mathematics. 1966, 18: 169–200. MR 0185507. Zbl 0132.14603. doi:10.4153/cjm-1966-021-8.

[27] Johnson 1966^[24], table II, line 4.

[MacLean_2007-28] MacLean, Kenneth J. M. A Geometric Analysis of the Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra. Loving Healing Press. 2007. ISBN 978-1-932690-99-6.

[MacLean_2007_p43-44-29] MacLean 2007^[26], 43–44

[Richard_Klitzing-30] Richard Klitzing. icosahedron, ike. bendwavy.org. [2025-05-27].

[Icosahedral_group_mathworld-31] 29.0 ^29.1 Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[Kappraff_1991_p475-32] 30.0 ^30.1 ^30.2 Kappraff 1991^[41], 475

[Seide_|1991-33] Seidel, J. J. Corneil, D. G.; Mathon, R. , 编. Geometry and Combinatorics. Academic Press. 1991. ISBN 978-1-4832-6800-2.

["Seide-34] Seidel 1991^[31], 364

[35] 约翰·史坦布里奇（英语：John Stembridge）. Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. （原始内容存档于2018-02-10）（英语）.

[36] 约翰·史坦布里奇（英语：John Stembridge）. More Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. （原始内容存档于2017-08-21）（英语）.

[Baez-37] John Baez. Fool's Gold. September 11, 2011 [2021-08-14]. （原始内容存档于2018-05-19）.

[Cundy_1952-38] 36.0 ^36.1 Cundy, H. Martyn. Deltahedra. The Mathematical Gazette. 1952, 36 (318): 263–266. JSTOR 3608204. S2CID 250435684. doi:10.2307/3608204.

[article_rajpoot2mathematical-39] Rajpoot, Harish Chandra. Mathematical analysis of regular pentagonal right antiprism (PDF). J Pure Appl Math. 2023-03, 2 (5).

[Berman_1971-40] Berman, Martin. Regular-faced convex polyhedra. Journal of the Franklin Institute. 1971, 291 (5): 329–352. MR 0290245. doi:10.1016/0016-0032(71)90071-8.

[Cromwell_1997-41] Cromwell, Peter R. Polyhedra. Cambridge University Press. 1997. ISBN 978-0-521-55432-9.

[Cromwell_1997_p70-42] Cromwell 1997^[39], 70

[Kappraff_1991-43] Kappraff, Jay. Connections: The Geometric Bridge Between Art and Science 2nd. World Scientific. 1991. ISBN 978-981-281-139-4.

[book_holme2010geometry-44] Holme, Audun. Geometry: Our Cultural Heritage. Springer Science & Business Media. 2010-09-23. ISBN 978-3-642-14441-7 （英语）.

[John_Sharp_1998-45] 43.0 ^43.1 John Sharp. Have you seen this number?. The Mathematical Gazette. 1998-07, 82 (494): 203–214 [2021-08-16]. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3620403 （英语）.

[George_W._Hart_1996_Symmetry_Planes-46] 44.0 ^44.1 George W. Hart. Symmetry Planes. 1996 [2021-08-14]. （原始内容存档于2021-08-16）.

[Shavinina_2013-47] Shavinina, Larisa V. The Routledge International Handbook of Innovation Education. Routledge. 2013. ISBN 978-0-203-38714-6.

[Shavinina_2013_p333-48] Shavinina 2013^[45], 333

[Dennis_McNair_Woolf_Kauffman_2018-49] Dennis, L.; McNair, J. Brender; Woolf, N. J.; Kauffman, L. H. The Context – Form Informing Function. McNair, Jytte Brender; Dennis, Lynnclaire; Kauffman, Louis H. (编). Mereon Matrix, The: Everything Connected Through (K)nothing. World Scientific. 2018. ISBN 978-981-323-357-7.

["Dennis_McNair_Woolf_Kauffman-50] Dennis et al. 2018^[47], 169

[article_rauschning2002aspect-51] 49.0 ^49.1 Rauschning, Jan and Slodowy, Peter. An aspect of icosahedral symmetry. Canadian Mathematical Bulletin (Cambridge University Press). 2002, 45 (4).

[Simões-Pereira_2019-52] Simões-Pereira, J. A5 and the icosahedron rotations: seeing the facts not only proving them. Journal of Mathematical Sciences. 2016, 3.

[Buker_Eggleton_1969-53] Buker, W. E.; Eggleton, R. B. The Platonic Solids (Solution to problem E2053). American Mathematical Monthly. 1969, 76 (2): 192. JSTOR 2317282. doi:10.2307/2317282.

[54] Dual pairs of polyhedra. polyhedr.com. [2025-05-30].

[article_brandts2024regular-56] Brandts, Jan and Křížek, Michal and Somer, Lawrence. Regular tessellations of maximally symmetric hyperbolic manifolds (PDF). Symmetry (MDPI). 2024, 16 (2): 141.

[mastersthesis_duke2013study-57] Duke, Helene. A Study of the Rigidity of Regular Polytopes. The Ohio State University. 2013. （原始内容存档于2025-05-27）.

[Smith_1958-58] Smith, David E. History of Mathematics 2. Dover Publications. 1958. ISBN 0-486-20430-8.

[Smith_1958_p295-59] Smith 1958^[55], 295

[Minas-Nerpel_2007-60] Minas-Nerpel, Martina. A Demotic Inscribed Icosahedron from Dakhleh Oasis. The Journal of Egyptian Archaeology. 2007, 93 (1): 137–148. JSTOR 40345834. doi:10.1177/030751330709300107.

[61] C. Michael Hogan. Virus. Encyclopedia of Earth. National Council for Science and the Environment. eds. S. Draggan and C. Cleveland. 2010 [2013-03-24]. （原始内容存档于2011-10-16）.

[62] Герпесвирусы. [2005-06-25]. （原始内容存档于2006-03-25）.

[Bobik2007-63] Bobik, T.A., Bacterial Microcompartments, Microbe (Am. Soc. Microbiol.), 2007, 2: 25–31, （原始内容存档于2013-07-29）

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[14]

[15]

[16]

[18]

[20]

[22]

[23]

[25]

[27]

[28]

[29]

[30]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[40]

[42]

[43]

[44]

[46]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[注 1]

[53]

[54]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[13]

[17]

[19]

[21]

[24]

[26]

[41]

[31]

[39]

[45]

[47]

[55]

对称群: [5,3]（英语：Icosahedral symmetry）, (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t_0,1{5,3}	t₁{5,3}	t_0,1{3,5}	{3,5}	t_0,2{5,3}	t_0,1,2{5,3}	s{5,3}
半正多面体对偶


V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

对称性: [3,3], (*332)							[3,3]⁺, (332)


{3,3}	t_0,1{3,3}	t₁{3,3}	t_1,2{3,3}	t₂{3,3}	t_0,2{3,3}	t_0,1,2{3,3}	s{3,3}
半正多面体对偶


V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

对称性: [4,3], (*432)							[4,3]⁺, (432)	[1⁺,4,3], (*332)	[4,3⁺], (3*2)


{4,3}	t_0,1{4,3}	t₁{4,3}	t_1,2{4,3}	{3,4}	t_0,2{4,3}	t_0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h_1,2{4,3}
半正多面体的对偶


V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

图像	大十二面体	小星形十二面体	大二十面体
考克斯特-迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）

类别	帕雷托立体					卡塔兰立体
种子	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	aC	aD
倒角	cT	cC	cO（英语：Chamfered octahedron）	cD	cI	caC	caD