第二基本形式

微分几何中，第二基本形式（second fundamental form）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。

$\mathbf {R} ^{3}$中曲面

引论

$\mathbf {R} ^{3}$中一个参数曲面$S$的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，$z=f(x,y)$，且平面$z=0$与曲面在原点相切。则$f$以及关于$x$和$y$的偏导数在$(0,0)$皆为零。从而$f$在$(0,0)$处的泰勒展开以二次项开始：

$z=f_{xx}{\frac {x^{2}}{2}}+f_{xy}xy+f_{yy}{\frac {y^{2}}{2}}+o(n)$，

记 $L=f_{xx},M=f_{xy},N=f_{yy}$, 则在$(x,y)$坐标中原点处的第二基本形式是二次型：

$Ldx^{2}+2Mdxdy+Ndy^{2}.\,$

对 参数曲面$S$上一个光滑点$p$，总可以选取坐标系使得坐标的 z-平面与$S$切于$p$，然后可以相同的方式定义第二基本形式。

经典记号

一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设$\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)$ 是$\mathbf {R} ^{3}$中一个正则参数曲面，这里$\mathbf {r}$是两个变量的光滑向量值函数。通常记$\mathbf {r}$关于$u$和$v$的偏导数为$\mathbf {r} _{u}$与$\mathbf {r} _{v}$。参数化的正则性意味着$\mathbf {r} _{u}$与$\mathbf {r} _{v}$对$\mathbf {r}$的定义域中任何$(u,v)$是线性无关的。等价地，叉积$\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}$是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场$\mathbf {n} (u,v)$：

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.$

第二基本形式通常写成

$\mathrm {II} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},\,$

在基$\{\mathbf {r} _{u},\mathbf {r} _{v}\}$下的矩阵是

${\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.$

在参数化 uv-平面上一个给定点处系数$L$, $M$, $N$由$\mathbf {r}$在那个点的二次偏导数到$S$的法线上投影给出，利用点积可计算如下：

$L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} ,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} ,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} .$

现代记法

一个通常曲面$S$的第二基本形式定义如下：设$\mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2})$是$\mathbf {R} ^{3}$中一个正则参数曲面，这里$\mathbf {r}$是两个变量的光滑向量值函数。通常记$\mathbf {r}$关于$u^{\alpha }$的偏导数为$\mathbf {r} _{\alpha }$，$\alpha =1,2$。参数化的正则性意味着$\mathbf {r} _{1}$与$\mathbf {r} _{2}$在$\mathbf {r}$的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成$\mathbf {S}$的切空间。等价地，叉积$\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}$是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场$\mathbf {n}$：

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}$

第二基本形式通常写作

$\mathrm {II} =b_{\alpha \beta }du^{\alpha }du^{\beta }$

上式使用了爱因斯坦求和约定。

在参数$(u^{1},u^{2})$-曲面给定点处系数$b_{\alpha \beta }$由$\mathbf {r}$的二次偏导数到$S$的法线的投影给出，利用点积可写成：

$b_{\alpha \beta }=\mathbf {r} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {n}$

黎曼流形中的超曲面

在欧几里得空间中，第二基本形式由

$I\!I(v,w)=\langle d\nu (v),w\rangle$

给出，这里 $\nu$ 是高斯映射，而 $d\nu$ 是 $\nu$ 的微分视为一个向量值微分形式，括号表示欧几里得空间的度量张量。

更一般地，在一个黎曼流形上，第二基本形式是描述一个超曲面形算子（记作$S$）的等价方法，

$\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle =-\langle \nabla _{v}n,w\rangle =\langle n,\nabla _{v}w\rangle ,$

这里 $\nabla _{v}w$ 表示周围空间的共变导数，$n$超曲面上一个法向量场。如果仿射联络是无挠的，则第二基本形式是对称的。

第二基本形式的符号取决于$n$的方向的选取。（这称为曲面的余定向，对欧几里得空间中的曲面，等价于给定曲面的一个定向）。

推广为任意余维数

第二基本形式可以推广到任意余维数。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为

$\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },$

这里 $(\nabla _{v}w)^{\bot }$ 表示共变导数 $\nabla _{v}w$ 到法丛的正交投影。

在欧几里得空间中，子流形的曲率张量可以描述为下列公式：

$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .$

这叫做高斯方程，可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二基本形式的本征值，是曲面的主曲率。一组正交规范本征向量称为主方向。

对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率；如果$N$是嵌入黎曼流形$(M,g)$中一个流形，则$N$在诱导度量下的曲率张量 $R_{N}$ 可以用第二基本形式与$M$的曲率张量 $R_{M}$ 表示出来：

$\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .$

相关条目

• 第一基本形式
• 高斯曲率
• 高斯-科达齐方程

参考文献

• Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7. 
• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325. 
• Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1. 

外部链接

• 关于第二基本形式的几何的一篇博士论文，作者为 Steven Verpoort: https://lirias.kuleuven.be/bitstream/1979/1779/2/hierrrissiedan!.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）