高斯常数|
种类 | 无理数 超越数 |
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发现 | 卡尔·弗里德里希·高斯 |
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符号 |  |
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位数数列编号 | A014549 |
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定义 |  |
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连分数 | [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36...](OEIS数列A053002) |
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值 | 0.8346268 |
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二进制 | 0.110101011010101000011010… |
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八进制 | 0.653250326325523207665422… |
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十进制 | 0.834626841674073186281429… |
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十六进制 | 0.D5AA1ACD5A9A1F6B126ED416… |
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高斯常数符号为G,是1和根号2之算术-几何平均数的倒数:

此数学常数得名自卡尔·弗里德里希·高斯,他在1799年5月30日发现

因此

其中B为贝塔函数。
高斯常数常用来表示
的数值。

换句话说
![{\displaystyle G={\frac {[\Gamma ({\tfrac {1}{4}})]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77d41d505398f254b39b3397332a49dcd71fa0f)
因为
和
互相代数独立,且
为无理数,因此高斯常数为超越数。
高斯常数常用来定义lemniscate常数,第一lemniscate常数为:

第二lemniscate常数为:

在计算伯努利双纽线的弧长时会出现这些常数。
以下是一个用Θ函数定义高斯常数的公式

也可以用以下快速收敛的级数表示
![{\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa19577531f9b3da22813ac592a0c28c2145114e)
高斯常数也可以用无穷乘积表示:

在以下的定积分中也有高斯常数


高斯常数的连分数为[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. (OEIS数列A053002)