莫爾斯–帕萊引理

數學中，莫爾斯–帕萊引理（Morse–Palais lemma）是變分法與希爾伯特空間理論中的一個結果。粗略地講，它指出臨界點附近足夠光滑的函數在適當改變坐標後可表為二次型。 莫爾斯–帕萊引理最初是美國數學家馬斯頓·莫爾斯利用格拉姆-施密特正交化在有限維情形證明的。這一結論在莫爾斯理論中起着至關重要的作用。到希爾伯特空間的推廣歸功於理查德·帕萊和斯蒂芬·斯梅爾。

陳述

令$(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$為實希爾伯特空間，並令U是H中原點的開鄰域。令$f:U\to \mathbb {R}$是$(k+2)$-次連續可微函數，其中$k\geq 1$，即$f\in C^{k+2}(U;\mathbb {R} )$。設$f(0)=0$，0是f的非退化臨界點，即二階導$D^{2}f(0)$確定了H與其連續對偶空間$H^{*}$的同構 $$H\ni x\mapsto \mathrm {D} ^{2}f(0)(x,-)\in H^{*}.$$

則在U中存在0的子鄰域V、微分同胚映射$\varphi :V\to V$（$C^{k}$，逆也是$C^{k}$）、可逆對稱算子$A:H\to H$使得 $$f(x)=\langle A\varphi (x),\varphi (x)\rangle \quad \forall x\in V.$$

推論

令$f:U\to \mathbb {R}$是$f\in C^{k+2}$，使得0是非退化臨界點。則存在逆為$C^{k}$的$C^{k}$微分同胚映射$\psi :V\to V$、正交分解 $$H=G\oplus G^{\perp },$$ 使得若有 $$\psi (x)=y+z\quad {\mbox{ with }}y\in G,z\in G^{\perp },$$ 則 $$f(\psi (x))=\langle y,y\rangle -\langle z,z\rangle \quad {\text{ for all }}x\in V.$$

另見

• 弗雷歇導數

參考文獻

• Lang, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison–Wesley Publishing Co., Inc. 1972.