進位制

進位制（carry system）又稱進制、進位系統，是一種記數制度、系統或方法；利用這種「記數法」，可以使用有限種的「數字符號」來表示所有的數值。進位（carry）則是傳送進位數之動作或過程。

進位制，「進」表示在一個位值的數字達到基數後，將其重設為零並使高一位（位值）的數字加一。「位」代表位值（place value）。

進位制的其他名稱：位置記法（positional notation）、數字命位法、定位記法、進位記數法、位值記數法（place-value notation）、位置數值系統（positional numeral system）。

一種進位制中可以使用的數字符號的數目，稱為這種進位制的基數或底數。若一個進位制的基數為 $n$，即可稱之為 $n$進位制，簡稱 $n$進制。現在最常用的進位制是十進制，這種進位制通常使用10個阿拉伯數字（即 0-9 ）進行記數。

我們可以用不同的進位制來表示同一個數。比如：十進數57₍₁₀₎，可以用二進制表示為111001₍₂₎，也可以用五進制表示為212₍₅₎，同時也可以用八進制表示為71₍₈₎，可用十二進制表示為49₍₁₂₎，亦可用十六進制表示為39₍₁₆₎，它們所代表的數值都是一樣的。

在10進制中有10個數字（0 - 9），比如：

$2506=2\times 10^{3}+5\times 10^{2}+0\times 10^{1}+6\times 10^{0}$.

在16進制中有16個數字（0–9 和 A–F），比如：

$171B=1\times 16^{3}+7\times 16^{2}+1\times 16^{1}+B\times 16^{0}$ (16進制中A代表10,B代表11,C代表12,D代表13,E代表14,F代表15）

一般說來，$b$進制有$b$個數字，如果$a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}$是其中四個數字，那麼就有

$a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}=a_{3}\times b^{3}+a_{2}\times b^{2}+a_{1}\times b^{1}+a_{0}\times b^{0}$ (注意，$a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$ 表示一個數字序列, 而不是數字的相乘)

常見進位制及其用途

底/基數	名稱	描述
10	十進制	世界上最常見的算術運算位進制系統，它是2和5的乘積，用於大多數機械計數器。其十位數字為 「0-9」。
12	十二進制	因為有多個因數如2，3，4和6的易於整除性，它傳統上用以表示數量和總數，如一打即為十二個單位。十二位數字為「0-9」，接着是「A」和「B」。
20	二十進制	因為有多個因數如2，4，5和10的易於整除性，在幾種傳統文化中的數字系統，仍然被用於計數。二十位數字為「0-9」，接着是「A-J」。
26	二十六進制、對射二十六進制	這是一種使用26個拉丁字母來表示數的方法，Excel表格的列編號使用對射二十六進制。在普通二十六進制中，二十六位數碼為「O-Z」，把O提前代表0，按照O、A、B……的順序排列（O表示0、A表示1、B表示2……Z表示25、AO代表26、AA代表27……）；而在對射二十六進制中，二十六位數碼為「A-Z」，A代表1、B代表2……Z代表26、AA代表27、AB代表28……，沒辦法表示0。所有英語單詞（不區分大小寫）都可以按照對射二十六進制轉十進制的方法轉換為自然數。
14	十四進制	用於撲克牌中，並可能用於某些小說中外星人的進制系統。十四位數字為「0-9」，接着是「A-D」。
2	二進制	幾乎所有的電子計算機內部都使用二進位制，分別為「0」和「1」表示「關」和「開」。用於大多數電子計數器。
3	三進制	某些計算機中可能採用三進制而不是二進制（如Сетунь）。理論上這比二進制更高效。三位數字分別爲0、1、2，或者爲T、0、1（平衡三進制）。
16	十六進制	經常用於計算機領域，2到4次冪。十六位數字為「0-9」，接着是「A-F」。
8	八進制	偶爾用於計算機領域，2到3次冪。並可能用於某些小說中外星人的進制系統。八位數字為「0-7」。
60	六十進制	起源於古代蘇美爾並傳給巴比倫人。六十成為3,4和5的乘積。今天用作現代圓形坐標系（度，分，秒）和時間測量（小時，分鐘和秒）的基礎。

八進位制和十六進位制系統通常用於電腦領域，因為它們可方便當作二進位制的簡寫。十六進位制數碼對應於四位二進位制數碼的序列，因為十六是二的四次方; 例如，十六進位制 78₁₆ 是二進制 1111000₂。八進位制數和二進位制的數碼序列之間也有類似關係，因為八是二的立方。底數通常是自然數。 然而，其它位進制系統也是可能的。黃金比率底數（其底為非整數代 數）和負底數（其底為負數）。

參考文獻

• O'Connor, John; Robertson, Edmund. Babylonian Numerals. December 2000 [21 August 2010]. （原始內容存檔於2014-09-11）. 
• Kadvany, John. Positional Value and Linguistic Recursion. Journal of Indian Philosophy. December 2007. 
• Knuth, Donald. The art of Computer Programming 2. Addison-Wesley. 1997: 195–213. ISBN 0-201-89684-2. 
• Ifrah, George. The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. 2000. ISBN 0-471-37568-3. 
• Kroeber, Alfred. Handbook of the Indians of California. Courier Dover Publications. 1976: 176 [1925] [2014-07-17]. ISBN 9780486233680. （原始內容存檔於2016-05-05）. 

外部連結

• 進位轉換器（網頁版） （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Accurate Base Conversion
• The Development of Hindu Arabic and Traditional Chinese Arithmetics
• Implementation of Base Conversion （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at cut-the-knot
• Learn to count other bases on your fingers （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• From one to another number system （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）