迴圈量子重力

迴圈量子重力論（loop quantum gravity，簡稱LQG），又譯環圈量子重力論，英文別名迴圈重力（loop gravity）、量子幾何學（quantum geometry），是一種試圖將廣義相對論與量子力學結合起來的理論，由阿貝·阿希提卡、李·斯莫林、卡洛·羅威利等學者共同發展，是目前與弦理論齊名的重要量子重力理論之一。

傳統上，當科學家嘗試將重力以量子場論的方式處理時會遇到「無法重整化」的困難，也就是該理論在高能量尺度會出現無限值，無法修正。而LQG的做法則是從廣義相對論本身出發，將其重新表達為一種類似規範場論的形式，並引入不同的變數（阿希提卡-巴貝羅聯絡（英語：Ashtekar-Barbero Connection））來取代原本的度規張量，進而將重力量子化。

在LQG理論框架中，時空是背景獨立的，而且是由名為「迴圈」的結構編織成的自旋網絡。也就是說這些「迴圈」不是存在於某個預設的時空中，而是以自身扭結的方式定義出時空幾何。網絡中每條邊的長度約為普朗克長度，在這樣極小的尺度下這些結構會產生隨機的量子漲落，因此延伸出所謂的自旋泡沫理論，也就是自旋網絡隨時間演化的形式。根據此理論，時空是「離散」非「連續」的。

通論與目標

部分學者（特別是弦論學家）認為：在只有一個時間維和三個空間維組成的四維時空中，無法將重力量子化而且不引入新的粒子或場，不過弦論中所預測的這些產物目前也未能與觀測結果互相證實。

LQG則試圖不引入任何額外維度或粒子，而是將重力本身加以量子化。該理論的弱點是無法自然產生標準模型中已有的粒子與場，得要需事後再加進理論，不過LQG創始人之一李·斯莫林曾提出一種可能性：弦論與LQG或許是同一種理論的不同表達方式。

LQG目前的主要成果包括：

成功將非微擾的三維空間幾何量子化，其中面積與體積成為具有量子化的物理量；
成功計算黑洞熵（但仍有詮釋上的爭議）；
成為弦論外另一個可行的重力量子化候選方案，但目前仍不是一個「萬有理論」。

儘管LQG的數學基礎嚴謹，但其物理詮釋仍在討論中（如黑洞熵）。此外與此理論密切相關的還有自旋泡沫模型，以描述自旋網絡隨時間的演化。

基本假設

LQG的建構基於以下兩個核心假設：

廣義協變性：物理定律在任何坐標系下都應成立，這是廣義相對論的基本假設。
背景獨立性：理論中不假設一個固定的空間或時間背景，而是假設時空結構本身是動態的。

此外，LQG也假設量子論的基本原則是正確的。

可以利用以下舉例來理解LQG的基本假設：

牛頓力學既非廣義協變、也非背景獨立，因為它假設絕對時間與空間。
狹義相對論雖然是協變理論（狹義協變），但其背景為固定的閔考斯基時空，並非背景獨立。
廣義相對論是廣義協變且背景獨立的理論，度規張量的值完全由理論決定。

基本理論架構

LQG可以從廣義相對論的ADM表示法開始推導。其基本變數為：

三維空間度規張量 $q_{ab}$
正則座標 $P^{ab}$

這些變數受到下列兩個一級約束條件限制：

微分同胚約束（英語：Diffeomorphism constraint）： $-2q^{-{\frac {1}{2}}}\;^{3}\nabla _{a}P_{\ b}^{a}=0$
哈密頓約束（英語：Hamiltonian constraint）： $-^{3}R+q^{-1}(P^{ab}P_{ab}-{\frac {1}{2}}P^{2})=0$

阿希提卡-巴貝羅聯絡

為了便於處理這些約束條件，可引入三足形式（德語：drei-bein）來重寫度規張量：

$e_{a}^{i}e_{b}^{j}\delta _{ij}=q_{ab}$

並定義與三足相容的聯絡（自旋聯絡） $\Gamma _{a}^{i}$ ，及其曲率 $K_{a}^{i}$ 。此時進一步引入實數參數 $\gamma$ （稱為巴貝羅-伊姆米爾齊參數），就可以定義一個新的聯絡變數：

$A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\gamma K_{a}^{i}$

這就是阿希提卡-巴貝羅聯絡，即LQG中的核心變數。其對應的正則動量為：

$E_{i}^{a}=det(e)e_{i}^{a}$

再經處理後的該系統包含三個一級約束：

高斯約束： $D_{a}E_{i}^{a}=0$
微分同胚約束： $F_{ab}^{i}E_{i}^{a}=0$
哈密頓約束： ${\frac {1}{\sqrt {|det(E)|}}}F_{ab}^{i}E_{j}^{a}E_{k}^{b}\epsilon _{ijk}+...=0$

其中 $D_{a}$ 是以 $A_{a}^{i}$ 為聯絡定義的協變微商， $F_{ab}^{i}$ 為其對應的曲率張量。

由於滿足這些約束，LQG可視為一種類似於規範場論的理論，其基本結構是由「聯絡」與「曲率」構成的幾何。

參考文獻

書目

Rodolfo Gambini and Jorge Pullin, Loop Quantum Gravity for Everyone, World Scientific, 2020.
Carlo Rovelli, "Reality is not what it seems", Penguin, 2016.
Martin Bojowald, Once Before Time: A Whole Story of the Universe 2010.
Carlo Rovelli, What is Time? What is space?, Di Renzo Editore, Roma, 2006.
Lee Smolin, Three Roads to Quantum Gravity, 2001

論文

（英文）迴圈量子重力論中的重力子傳遞子(Graviton propagator in loop quantum gravity) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）-- We compute some components of the graviton propagator in loop quantum gravity, using the spinfoam formalism, up to some second order terms in the expansion parameter.
（英文）量子重力與標準模型(Quantum Gravity and the Standard Model) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）-- Shows that a class of background independent models of quantum spacetime have local excitations that can be mapped to the first generation fermions of the standard model of particle physics.

外部連結

"Loop Quantum Gravity" by Carlo Rovelli （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Physics World, November 2003
Quantum Foam and Loop Quantum Gravity （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Abhay Ashtekar: Semi-Popular Articles . Some excellent popular articles suitable for beginners about space, time, GR, and LQG. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Loop Quantum Gravity: Lee Smolin. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Loop Quantum Gravity on arxiv.org （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
A list of LQG references catered to fresh graduates
Loop Quantum Gravity Lectures Online by Lee Smolin
Spin networks, spin foams and loop quantum gravity （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Wired magazine, News: Moving Beyond String Theory （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
April 2006 Scientific American Special Issue, A Matter of Time, has Lee Smolin LQG Article Atoms of Space and Time
September 2006, The Economist, article Looping the loop （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
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Zeno meets modern science.（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Article from Acta Physica Polonica B （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by Z.K. Silagadze.
Did pre-big bang universe leave its mark on the sky?^{[永久失效連結]} - According to a model based on "loop quantum gravity" theory, a parent universe that existed before ours may have left an imprint (New Scientist, 10 April 2008)