用户:Askflh/复对数

复对数的一个分支。其色相表示复对数的幅角（极坐标下相对原点的角度），其颜色的饱和度及亮度表示复对数的绝对值。图片的档案页中有列出其颜色对应的数值

在复分析中 ，非零复数$z$的复对数 （由${\textstyle w=\log(z)}$表示）被定义为任意满足$e^{w}=z$的复数$w$ 。该定义类似于实对数函数 $\ln$ ，被定义为实指数函数 e^y的反函数 e^y ，对于任意正实数x，满足$e^{\ln x}=x$ 。

任何复数有无穷多个复对数（见下段），因而复对数不能被定义为一个复数的函数，只可作为一个多值函数 。

如果z以极坐标形式$z=re^{i\theta }$给出（其中$r$和$\theta$为实数，且$r>0$），那么$w_{0}=\ln(r)+i\theta$是$z$的一个对数。 由于任取整数$k$，均恰好有$z=re^{(i\theta +2k\pi )}$，因而对于这个$k$，$z=re^{(i\theta +2k\pi )}$ 也为$z$的一个对数

$w_{k}=\ln(r)+i(\theta +2k\pi )$

 $z$的所有复对数，都在复平面中与原点距离为$\ln(r)$的直线上。 

由于每个非零复数$z$具有无穷多个对数，因此在使用时，需要特别注意指出其明确的含义。

复指数函数求逆的问题

复对数函数的多值虚部的示意图，显示了多种可能的分支。 当复数$z$围绕原点旋转时，对数的虚部上升或下降。 这使得原点成为函数的分支点 。

对于具有反函数的函数 ，将不同的值映射到不同的值 ，即其是单射 （如果我们不将到达域限制到函数的值域 ，则其为双射）。 在指数$e^{w}$中添加一个项$i\theta$，效果为使该复数旋转$\theta$弧度，因而任取复数$w$，都可以得到$e^{w}=e^{w+2\pi i}$，因而指数函数并不是单射。所以下列点：

$\ldots ,\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots ,$${\displaystyle \ldots ,\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots ,}$

沿该垂直线等间隔，且均由指数函数映射到相同的复数，即$e^{w}$。 这意味着指数函数在一般意义上没有反函数。 这个问题有两种解决方案：

一种是将指数函数的定义域限制为一个区域，该区域不存在相差$2\pi i$整数倍的两个数。因而，在此区域内，指数函数为一个双射，这自然导出了$\log(z)$在该区域的定义。 这类似于定义在$[-1,1]$上的函数$\arcsin(x)$，通过限制$\theta \in [-\pi /2,\pi /2]$来寻找$\sin(\theta )$的反函数。

另一种方法是将对数视为一个函数，其定义域不是复平面中的区域，而是以无限到1的方式覆盖穿孔复平面的黎曼曲面 。 [[Category:对数]] [[Category:解析函数]] [[Category:有未审阅翻译的页面]]