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複對數的一個分支。其色相表示複對數的幅角（極坐標下相對原點的角度），其顏色的飽和度及亮度表示複對數的絕對值。圖片的檔案頁中有列出其顏色對應的數值

在複分析中 ，非零複數$z$的複對數 （由${\textstyle w=\log(z)}$表示）被定義為任意滿足$e^{w}=z$的複數$w$ 。該定義類似於實對數函數 $\ln$ ，被定義為實指數函數 e^y的反函數 e^y ，對於任意正實數x，滿足$e^{\ln x}=x$ 。

任何複數有無窮多個複對數（見下段），因而複對數不能被定義為一個複數的函數，只可作為一個多值函數 。

如果z以極坐標形式$z=re^{i\theta }$給出（其中$r$和$\theta$為實數，且$r>0$），那麼$w_{0}=\ln(r)+i\theta$是$z$的一個對數。 由於任取整數$k$，均恰好有$z=re^{(i\theta +2k\pi )}$，因而對於這個$k$，$z=re^{(i\theta +2k\pi )}$ 也為$z$的一個對數

$w_{k}=\ln(r)+i(\theta +2k\pi )$

 $z$的所有复对数，都在复平面中与原点距离为$\ln(r)$的直线上。 

由於每個非零複數$z$具有無窮多個對數，因此在使用時，需要特別注意指出其明確的含義。

復指數函數求逆的問題

複對數函數的多值虛部的示意圖，顯示了多種可能的分支。 當複數$z$圍繞原點旋轉時，對數的虛部上升或下降。 這使得原點成為函數的分支點 。

對於具有反函數的函數 ，將不同的值映射到不同的值 ，即其是單射 （如果我們不將到達域限制到函數的值域 ，則其為雙射）。 在指數$e^{w}$中添加一個項$i\theta$，效果為使該複數旋轉$\theta$弧度，因而任取複數$w$，都可以得到$e^{w}=e^{w+2\pi i}$，因而指數函數並不是單射。所以下列點：

$\ldots ,\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots ,$${\displaystyle \ldots ,\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots ,}$

沿該垂直線等間隔，且均由指數函數映射到相同的複數，即$e^{w}$。 這意味着指數函數在一般意義上沒有反函數。 這個問題有兩種解決方案：

一種是將指數函數的定義域限制為一個區域，該區域不存在相差$2\pi i$整數倍的兩個數。因而，在此區域內，指數函數為一個雙射，這自然導出了$\log(z)$在該區域的定義。 這類似於定義在$[-1,1]$上的函數$\arcsin(x)$，通過限制$\theta \in [-\pi /2,\pi /2]$來尋找$\sin(\theta )$的反函數。

另一種方法是將對數視為一個函數，其定義域不是複平面中的區域，而是以無限到1的方式覆蓋穿孔複平面的黎曼曲面 。 [[Category:对数]] [[Category:解析函数]] [[Category:有未审阅翻译的页面]]