使用者:ItMarki/五角錐

ItMarki/五角錐
類別	錐體; 詹森多面體; J1 – J2 – J3
對偶多面體	自身對偶
性質
面	6
邊	10
頂點	6
歐拉特徵數	F=6, E=10, V=6 （χ=2）
二面角	詹森多面體：; 三角形與三角形：138.19°; 三角形與五邊形：37.37°;
組成與佈局
面的種類	5個三角形; 1個五邊形
頂點佈局; （英語：Vertex_configuration）
對稱性
對稱群
特性
	凸
圖像
	; （展開圖）
	; （展開圖）

在幾何學中，五角錐是以五邊形為底面的錐體，含有5個三角形面，一共6個面。每一邊皆等長的五角錐屬於詹森多面體，由等邊三角形和正五邊形組成。

五角錐是諸多多面的組成部分，也出現於自然科學中，比如在立體化學中，部分分子的結構為五角錐形分子構型。

性質

五角錐具有6個頂點、10個邊和6個面。其中一面是五邊形，稱為錐體的底面，而其餘5個面是三角形。^[2]五角錐的底面由5個邊連接5個頂點而成，而剩下5個邊稱為側棱，交於第6個頂點。^[3]底面為正五邊形的五角錐稱為正五角錐；高垂直於底面的中心的五角錐稱為直五角錐。^[4]

五角錐與其他以正多邊形為底面的直錐體一樣，具有錐體對稱（英語：pyramidal symmetry），循環群為 $C_{5\mathrm {v} }$ ：錐體繞旋轉軸（連接底面中心和底面對著的頂點的線）旋轉1/5、2/5、3/5、4/5後不變。它也與任何經過底面平分線的垂直平面鏡像對稱。^[1]五角錐的輪圖表示式為 $W_{5}$ ，代表其骨架由五邊形的5個頂點與中心的頂點（完全點）連接而成。^[5]它是自身對偶的，即它的對偶多面體正是自己。^[6]

如果五角錐的每個邊等長，則它的面為等邊三角形和正五邊形。因為錐體依然為凸多面體，而所有面都是正多邊形，所以它歸類為第二個詹森多面體 $J_{2}$ 。^[7]兩個相鄰三角面的二面角約為138.19°，而三角面與底面的二面角約為37.37°。^[1]它是基本多面體（英語：elementary polyhedra），即不能被平面分割成兩個正多邊形面的凸多面體。^[8]多面體的表面積等於其面的面積總和，所以五角錐的表面積等於5個三角形面和1個五邊形底面的面積總和。錐體的體積等於底面積乘以高的三分之一。^[9]假設詹森多面體五角錐的邊長為 $a$ ，則其表面積 $A$ 和體積 $V$ 等於：^[10] ${\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\approx 3.88554a^{2},\\V&={\frac {5+{\sqrt {5}}}{24}}a^{3}\approx 0.30150a^{3}.\end{aligned}}$

而如果正五角錐的底面積為 $a$ ，高為 $h$ ，則其表面積和體積等於：^[11] ${\begin{aligned}A&={\frac {5a\left(a+{\sqrt {a^{2}+4\left(5-2{\sqrt {5}}\right)h^{2}}}\right)}{4{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}},\\V&={\frac {a^{2}h{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{12}}\approx 0.57349a^{2}h.\end{aligned}}$

應用

Pentagonal pyramids can be found in a small stellated dodecahedron

五角錐是許多多面體的組成部分。五角錐的底面可以疊於各種詹森多面體，形成側五角錐（疊於另一個多面體的面）、五角錐柱（疊於稜柱）和五角錐反角柱（疊於反稜柱）。^[12]例如，將五角錐疊於正十二面體的每個面，組成五角化十二面體；用五角錐星形化（英語：stellation）十二面體，組成小星形十二面體；將五角錐疊於五角反稜柱的兩個底面，組成正二十面體。^[13]部分詹森多面體的構造涉及側五角錐和五角錐柱：五角錐柱 $J_{9}$ 、五角錐反角柱 $J_{11}$ 、雙五角錐 $J_{13}$ 、雙五角錐柱 $J_{16}$ 、側錐正十二面體（英語：augmented dodecahedron） $J_{58}$ 、對二側錐正十二面體（英語：parabiaugmented dodecahedron） $J_{59}$ 、間二側錐正十二面體（英語：metabiaugmented dodecahedron） $J_{60}$ 、三側錐正十二面體（英語：triaugmented dodecahedron） $J_{61}$ 。^[14]同樣，多面體可以缺少五角錐，形成欠五角錐。從正二十面體減去五角錐，可以形成正二十面體欠鄰二側錐（英語：metabidiminished icosahedron） $J_{62}$ 和正二十面體欠三側錐（英語：tridiminished icosahedron） $J_{63}$ 。^[15]

在立體化學中，有些原子簇的結構為五角錐形分子構型。中心原子為具有一個孤電子對的主族元素原子，因此根據價層電子對互斥理論形成五角錐形。^[16]巢式硼烷碳酸鹽CB₅H₉便是一例。^[17]

Fejer et al. (2009)用五角錐和六角錐碎片建構出病毒的衣殼，之所以選擇這些形狀，是因為它們最近似自然病毒的蛋白質亞基。他們調整錐體之間的引力和斥力後，發現錐體可以自己堆砌成自然出現的二十面體形衣殼。^[18]

Gryzunova (2017) studied the relaxation of internal elastic stress fields due to disclination（英語：disclination）s in twinned copper particles. Such a shape is the pentagonal pyramid, which allows growth to a large size and preserves symmetry. This can be done by activating cathode by the process of initial crystal growth in the electrolyte, by the movement of aluminum and silicon oxide（英語：silicon oxide）s' abrasive particles.^[19]

參考文獻

注釋

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Johnson (1966).
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文獻

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[16] Rajwade (2001), pp. 84–88. 在表12.3中， $P_{n}$ 代表 $n$ 角柱， $A_{n}$ 代表 $n$ 角反稜柱。

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閱論編詹森多面體
稜錐、帳塔和罩帳	正四角錐正五角錐正三角帳塔正四角帳塔正五角帳塔正五角罩帳
稜錐與擬柱體的組合	正三角錐柱正四角錐柱正五角錐柱正四角錐反角柱正五角錐反角柱雙三角錐雙五角錐雙三角錐柱雙四角錐柱雙五角錐柱雙四角錐反角柱
帳塔和罩帳與擬柱體的組合	三角帳塔柱四角帳塔柱五角帳塔柱正五角罩帳柱正三角帳塔反角柱正四角帳塔反角柱正五角台塔反角柱正五角罩帳反角柱異相雙三角柱同相雙三角台塔同相雙四角台塔異相雙四角台塔同相雙五角台塔異相雙五角台塔同相五角台塔丸塔異相五角台塔丸塔同相雙五角丸塔（英語：Pentagonal orthobirotunda）同相雙三角台塔柱（英語：Elongated triangular orthobicupola）異相雙三角台塔柱（英語：Elongated triangular gyrobicupola）異相雙四角帳塔柱同相雙五角台塔柱（英語：Elongated pentagonal orthobicupola）異相雙五角台塔柱（英語：Elongated pentagonal gyrobicupola）同相五角台塔丸塔柱（英語：Elongated pentagonal orthocupolarotunda）異相五角台塔丸塔柱（英語：Elongated pentagonal gyrocupolarotunda）同相五角雙丸塔柱（英語：Elongated pentagonal orthobirotunda）異相五角雙丸塔柱（英語：Elongated pentagonal gyrobirotunda）雙三角台塔反角柱（英語：Gyroelongated triangular bicupola）雙四角台塔反角柱（英語：Gyroelongated square bicupola）雙五角台塔反角柱（英語：Gyroelongated pentagonal bicupola）五角台塔丸塔反角柱（英語：Gyroelongated pentagonal cupolarotunda）雙五角丸塔反角柱（英語：Gyroelongated pentagonal birotunda）
側錐稜柱	側錐三角柱二側錐三角柱三側錐三角柱側錐五角柱二側錐五角柱間二側錐五角柱側錐六角柱二側錐六角柱對二側錐六角柱間二側錐六角柱三側錐六角柱
側錐柏拉圖立體	側錐正十二面體（英語：Augmented dodecahedron）對二側錐正十二面體（英語：Parabiaugmented dodecahedron）間二側錐正十二面體（英語：Metabiaugmented dodecahedron）三側錐正十二面體（英語：Triaugmented dodecahedron）正二十面體欠鄰二側錐（英語：Metabidiminished icosahedron）正二十面體欠三側錐（英語：Tridiminished icosahedron）側錐正二十面體欠三側錐（英語：Augmented tridiminished icosahedron）
阿基米德立體與擬柱體的組合與缺少	側台塔截角四面體側台塔截角立方體對二側帳塔截角立方體側台塔截角十二面體（英語：Augmented truncated dodecahedron）對二側台塔截角十二面體（英語：Parabiaugmented truncated dodecahedron）間二側台塔截角十二面體（英語：Metabiaugmented truncated dodecahedron）三側台塔截角十二面體（英語：Triaugmented truncated dodecahedron）單旋側帳塔小斜方截半二十面體（英語：Gyrate rhombicosidodecahedron）對二旋側台塔小斜方截半二十面體（英語：Parabigyrate rhombicosidodecahedron）鄰二旋側台塔小斜方截半二十面體（英語：Metabigyrate rhombicosidodecahedron）三旋側台塔小斜方截半二十面體（英語：Trigyrate rhombicosidodecahedron）小斜方截半二十面體欠一側台塔（英語：Diminished rhombicosidodecahedron）對單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔（英語：Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron）鄰單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔（英語：Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron）二旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔（英語：Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron）小斜方截半二十面體欠對二側帳塔小斜方截半二十面體欠鄰二側帳塔（英語：Metabidiminished rhombicosidodecahedron）單旋側台塔小斜方截半二十面體欠二側台塔小斜方截半二十面體欠三側台塔
基本立體	扭稜鍥形體扭稜四角反角柱球狀屋頂側錐球狀屋頂加長型球狀屋頂廣底加長型球狀屋頂五角錐球狀屋頂雙新月雙罩帳三角廣底球狀罩帳
相關主題	擬詹森多面體條件邊正多邊形凸多面體欠 (多面體變換)
（參見詹森多面體列表）